Ok, ich versuchs mal von Anfang an:

Linearität muss man im Prinzip nachrechnen. Linearität liegt aber immer vor, wenn die Abbildung dadurch zustande kommt, dass man etwas einsetzt.

Beispielhaft (A(f+g)(x)) = (f+g)(1-x) = f(1-x) + g(1-x) = A(f) + A(g). Man sieht, dass die Linearität eigentlich darin begründet ist, wie Summen (und skalare Vielfache) von Funktionen definiert sind.

Norm: Das Maximum der Funktionswerte von f ändert sich nicht dadurch, dass ich f mit der Abbildung `x mapsto 1-x` verkette, weil diese nur die "Reihenfolge" der Argumente ändert. Wenn x das Intervall [0,1] durchläuft, dann durchläuft auch 1 - x alle Werte. Deshalb wird das Maximum über dieselbe Menge gebildet.

Deshalb gilt `||A(f)|| = ||f||`, A ist also normerhaltend und deshalb gilt ||A|| = 1.

Inverses: Es gilt A(A(f))(x) = (A(f))(1-x) = f(1-(1-x)) = f(1-1+x) = f(x), also `A circ A = id`. A ist also zu sich selbst invers. Letztlich liegt das daran, dass die Abbildung `x mapsto 1-x` das Intervall [0,1] spiegelt und zwei mal Spiegeln gibt wieder das Original.