Die lokale Lipschitz-Stetigkeit in \(y\) zeigst Du hier am einfachsten über die stetige Differenzierbarkeit bzgl. \(y\).

Die eigentliche Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht darin, zu zeigen, dass die Lösung auf dem ganzen Intervall besteht und nicht mittendrin explodiert. Dazu müsstet Ihr schon entsprechende hinreichende Bedingungen gesehen haben, die das garantieren (Stichwort globale Lösung oder globale Existenz). Alternativ könntest Du auch versuchen, die Lösung auszurechnen. Ich habe mir nicht überlegt, ob das einfach geht.

Hilft das?