Das nächste mal kannst du bitte auch deine Ansätze oder Versuche mit hochladen und konkret eine Frage stellen, womit du Probleme hast. Wir wollen hier keine Aufgaben für dich lösen und helfen können wir auch dann nur, wenn du uns aufzeigst, was genau du nicht verstehst. Trotzdem sollst du Hilfe bekommen.

Zu (1): Ich vermute stark, dass der Begriff rekursive Folge gefragt ist. Also Folgen, welche sich mit Hilfe vorangegangener Glieder berechnen lassen. Wenn du die ersten Gleider berechnet hast und vielleicht ein gutes Zahlengedächtnis hast, merkst du schnell, dass diese Folge gegen \(\sqrt{2}\approx 1,414...\) konvergiert.

Ich kenne diese Beispielfolge aus der Analysis, wenn man die Existenz von Wurzeln einführt. Für \(y\in \mathbb{R}\) mit \(y\geq 0\) und \(n\in \mathbb{N}\), soll es also genau ein \(x\in \mathbb{R}\) mit \(x\geq 0\) geben, so dass \(x^n=y\) bzw. \(x=\sqrt[n]{y}\) gilt. Um die Existenz eines solchen \(x\) zu zeigen, wird eine konvergente reelle Folge \((a_k)_{k\in \mathbb{N}}\) konstruiert, so dass \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} a_k=x\). Diese Folge ist rekursiv und man setzt \(a_1=1\) und \(a_{k+1}=a_k\cdot \left(1+\dfrac{y-a_k^n}{n\cdot a_k^n}\right)\).

Wenn du (wegen \(\sqrt{2}=\sqrt[2]{2}\)) jetzt also \(y=2\) und \(n=2\) setzt, erhälst du (durch Umstellung) genau deine Folge:

\(a_{k+1}=a_k\cdot \left(1+\dfrac{2-a_k^2}{2\cdot a_k^2}\right)=\ldots =\dfrac{a_k}{2}-\dfrac{1}{a_k}\).

zu (2): Hier benutzt du einfach die Zinsrechnungsformel aus der Schule: \(K_n=K_0\cdot q^n=K_0\cdot 1,04^n\). Diese Folgen werden auch geometrische Folgen genannt, weil man mit jedem weiteren Folgenglied den festen Faktor \(q\) hinzumultipliziert. Du sollst nun das \(n\) bestimmen, so dass \(K_n=2\cdot K_0\) ist. Setzt das mal in deine Vorschrift ein und stelle nach \(n\) um.

zu (3): Hast du überhaupt schon einmal ein paar Folgeglieder ausgerechnet? Wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie auch beschränkt. Wenn in der Vorschrift \((-1)^k\) vorkommt, ist die Folge alternierend. Monotonie erklär ich jetzt nicht, diese kannst du selbst prüfen, wenn du die ersten Glieder jeder einzelnen Folge bestimmt hast. Als Tipp, um zu schauen, ob die Folgen konvergieren oder divergieren, setze doch einfach mal immer größere Zahlen ein \(k=10, k=20, \ldots, k=100, \ldots\). Bei (c) gebe ich dir den Hinweis, dass \(k!\) schneller wächst als \(2^n\).

Hoffe ich konnte dir ein paar Denkanstöße geben.