(Twitter)
0
$$\frac{x^{2n+1}-(\frac{1}{x})^{2n+1}}{x-\frac{1}{x}}=\sum \limits_{k=-n}^{\ n}x^{2k}$$
Ich habe mir gedacht, dass man das mit vollständiger Induktion beweist und habe dann den Induktionsanfang und die annahme aufgeschrieben. Hier wäre mein Induktionsschluss:
(Indexverschiebung:$$ \frac{x^{2n+1}-(\frac{1}{x})^{2n+1}}{x-\frac{1}{x}}=\sum \limits_{k=-n}^{\ n}x^{2k}=
\sum \limits_{k=0}^{\ 2n}x^{2(k-n)}$$)
$$\sum \limits_{k=0}^{\ 2(n+1)}x^{2(k-n)}=\sum \limits_{k=0}^{\ 2n+2}x^{2(k-n)}=$$
$$=\frac{x\left(x^{2n+1}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2n+1}\right)}{x^2-1}+x^{2\left(n+1\right)}+x^{2\left(n+2\right)}$$
was aber ungleich demhier ist:
$$\frac{x^{2\cdot \left(n+1\right)+1}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2\cdot \left(n+1\right)+1}}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}$$
und dementsprechend falsch.
Sieht jemand den Fehler? Bin ich vom Vorgehen her richig gewesen?
Ich habe mir gedacht, dass man das mit vollständiger Induktion beweist und habe dann den Induktionsanfang und die annahme aufgeschrieben. Hier wäre mein Induktionsschluss:
(Indexverschiebung:$$ \frac{x^{2n+1}-(\frac{1}{x})^{2n+1}}{x-\frac{1}{x}}=\sum \limits_{k=-n}^{\ n}x^{2k}=
\sum \limits_{k=0}^{\ 2n}x^{2(k-n)}$$)
$$\sum \limits_{k=0}^{\ 2(n+1)}x^{2(k-n)}=\sum \limits_{k=0}^{\ 2n+2}x^{2(k-n)}=$$
$$\sum \limits_{k=0}^{\ 2n}x^{2(k-n)}+x^{2\cdot \left(2n+1-n\right)}+x^{2\cdot \left(2n+2-n\right)}=$$
$$\frac{x^{2\cdot \:n+1}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2\cdot \:n+1}}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}+x^{2\cdot \left(2n+1\right)-n}+x^{2\cdot \left(2n+2\right)-n}$$
Heraus kommt da
Heraus kommt da
$$=\frac{x\left(x^{2n+1}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2n+1}\right)}{x^2-1}+x^{2\left(n+1\right)}+x^{2\left(n+2\right)}$$
was aber ungleich demhier ist:
$$\frac{x^{2\cdot \left(n+1\right)+1}-\left(\frac{1}{x}\right)^{2\cdot \left(n+1\right)+1}}{\left(x-\frac{1}{x}\right)}$$
und dementsprechend falsch.
Sieht jemand den Fehler? Bin ich vom Vorgehen her richig gewesen?
Diese Frage melden
gefragt
lia2105
Punkte: 16
Punkte: 16
Kennst du vielleicht die geometrische Summenformel, mit dieser lässt sich diese Aufgabe viel einfacher lösen.
─
mathejean
23.03.2021 um 12:38
