Matrix aus Eigenwerten und Eigenvektoren erstellen

Aufrufe: 241     Aktiv: 06.07.2023 um 21:24
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Moin, ich soll aus den Eigenwerten -5 und -2 sowie den Eigenvektoren (-2 , 4) und (4 , 4) eine Matrix bauen. Wie mach ich das? Ich habe 2 Methoden gefunden:

1. Lineares Gleichungsystem aus (a , b ,c ,d) * EV = EV*EW

1. -2 a + 4b = 10 ;2. -2c+4d=-20 ;3. 4a+4b = -8 ;4. 4a+4b = -8  aus 3. und 4. bekomme ich a =-b-2 und b=-a-2 Das setze ich in 1 und 2 ein und ekomme c=10+2d und d=0,5c-5

damit bekomme ich a = 3 b=-4 c=0 und d=-5 was die Ergebnismatrix (3, -5, 0, -5) sein sollte. Passt leider nicht wenn ich daraus die EWs berechne. Fehler im LGS auflösen?

 

2. Methode Gesuchte MatrixA=P(EV-Matrix)*D(Diagonalmatrix derEW)*P^-1 und dann im Falkschema ausrechnen. Determinante = -24 Also erst P(-2, 4, 4, 4)*D(-5, 0, -2, 0) und das Ergebnis mal P^-1 (1/12, -1/6, -1/6, -1/6) Das ergibt A = (13/6, -1/3, -1/3, 14/3).

Leider ergibt auch das rückwärtsgerechnet nicht die ursprünglichen Eigenwerte.

 

Wo liegt mein Fehler?

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Zu Methode 2: Dein $P^{-1}$ stimmt nicht. Mit $P=\begin{pmatrix}-2 & 4\\ 4 & 4\end{pmatrix}$ ist $P^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac16 & \frac16\\ \frac16 & \frac1{12}\end{pmatrix}$ und man erhält $A=\begin{pmatrix}-3 & 1\\ 2 & -4\end{pmatrix}$.
Die EVen sind natürlich nur bis auf Vielfache eindeutig.
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