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Bisher habe ich in der historischen Literatur keine Beispiele für eine klassiche Konstruktion nur mit Kreis und Gerade erzeugten #Punktefolgen gefunden, die als klassisch #konstruierter #Genzprozeß einen #Grenzpunkt zustreben, der ein #Verhältnisse markiert, welches eine besondere Bedeutung hat? Sind solche klassisch konstruierte Grenzprozesse überhaupt möglich#?
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user1254f8
Punkte: 10
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Für die möglichen "schon ziemlich vielen" klassich konstruierbaren Grenzprozesse sind aber doch " schon ziemlich wenige" im Umlauf. Interessante Beispiele dazu wären solche für die Größe des Winkeldtrittels oder die gestreckte Kreisumfanglänge? Kennt jemand Quellen dazu?
─
user1254f8
24.03.2024 um 18:38
Zur Winkeldreiteilung gibt es folgendes iteratives Verfahren: https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels#N%C3%A4herung_durch_iterative_Winkelhalbierung
Ähnliches sollte es die Würfelverdopplung oder die Quadratur geben. Denn die betreffenden Zahlen (\(\sqrt[3]{2}\) bzw. \(\pi\)) sollten sich ja in unendliche, konvergente Reihen entwickeln lassen, deren Glieder sämtlich konstruierbar sind.
Z.B. ist ja \(\pi = 16 \arctan(1/5) - 4\arctan (1/239) \), und für arctan gibt es eine Potenzreihe.
─ m.simon.539 24.03.2024 um 21:23
Ähnliches sollte es die Würfelverdopplung oder die Quadratur geben. Denn die betreffenden Zahlen (\(\sqrt[3]{2}\) bzw. \(\pi\)) sollten sich ja in unendliche, konvergente Reihen entwickeln lassen, deren Glieder sämtlich konstruierbar sind.
Z.B. ist ja \(\pi = 16 \arctan(1/5) - 4\arctan (1/239) \), und für arctan gibt es eine Potenzreihe.
─ m.simon.539 24.03.2024 um 21:23
Ich suche für die klassischen Aufgaben der Antike nach klassich konstruierten Berechnungen, auch solche mit klassisch konstruierten Grenzprozessen. Das mit {https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_{d}es_{W}inkels#N%C3%A4herung_{d}urch_{i}terative_{W}inkelhalbierung} angesprochenen Berechnen ist ein solches klassich konstruiertes Berechnen. Es wurde erstmals vom österreichischen Mathematiker N. Fialkowski im Jahre 1860 in seinem Buch „Theilung des Winkels und des Kreises Wien Druck und Verlag von Carl Gerold´s Sohn 1860“ als Grenzprozeß-Verfahren für ein exaktes, unbeschränkt genaues Winkeldritteln mitgeteilt.
Bei Wikipedia wird es bei „Dreiteilung des Winkels“ (29.3.2024)allerdings nur als „Näherungsverfahren“eingeordnet. Hingegen die Neusis-Verfahren als exakte Verfahren, obwohl sie gleichfalls mit einem endlosen Prozeß arbeiten, einem endlos genauen Einpassen durch Zurechtrücken. Diese unterschiedlichen Einordnungen sind widersprüchlich, denn das Halbierungs-Verfahren ist kein weniger exaktes Verfahren als die Neusis-Verfahren.
Beim vorgeschlagenen Überführen der arithmetisch/algebraischen unendlicher Reihe
„ π = 16 arctan ( 1 / 5 ) − 4 arctan ( 1 / 239 ) , und für arctan gibt es eine Potenzreihe.„
in einen klassich mit Zirkel und Lineal konstruierten Grenzprozess, deutet die Formelierung „sollte“ und „sollte .... konstruierbar sein“ auf gewisse Zweifel hin, die es für eine reale Umsetzung gibt. Und tatsächlich, in den historischen Überlieferungen fehlen mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierte Grenzprozeß-Berechnungen? Die Lücke wird insbesondere bei den drei klassischen Aufgaben sichtbar, beim Winkeldritteln, beim flächengleichen Umformen der Kreisfläche in eine Quadratfläche und beim Würfelverdoppeln.
Ein Grund für die Lücke sind die allgemein schwachen Konvergenzen der bekannten arithmetisch/algebraisch unendlichen Reihen. Bis zum Erreichen einer brauchbaren Ergebnis-Genauigkeit sind sehr viel Konstruktionsschritte auszuführen, was aus Zeit- und Aufwand-Gründen nicht real möglich ist.
Wegen der oben aufgezeigten Gründe suche ich für die klassischen drei Aufgaben nach klassisch konstruierten Grenzprozeß-Berechnungen bei starker Konvergenz, die nachvollziehbare Zusammenhänge von geometrischer Natur zur Grundlage haben. Sie sollen bereits mit wenigen Schritten eine sehr hohe Ergebnis-Genauigkeit liefern. ─ user1254f8 02.04.2024 um 13:17
Bei Wikipedia wird es bei „Dreiteilung des Winkels“ (29.3.2024)allerdings nur als „Näherungsverfahren“eingeordnet. Hingegen die Neusis-Verfahren als exakte Verfahren, obwohl sie gleichfalls mit einem endlosen Prozeß arbeiten, einem endlos genauen Einpassen durch Zurechtrücken. Diese unterschiedlichen Einordnungen sind widersprüchlich, denn das Halbierungs-Verfahren ist kein weniger exaktes Verfahren als die Neusis-Verfahren.
Beim vorgeschlagenen Überführen der arithmetisch/algebraischen unendlicher Reihe
„ π = 16 arctan ( 1 / 5 ) − 4 arctan ( 1 / 239 ) , und für arctan gibt es eine Potenzreihe.„
in einen klassich mit Zirkel und Lineal konstruierten Grenzprozess, deutet die Formelierung „sollte“ und „sollte .... konstruierbar sein“ auf gewisse Zweifel hin, die es für eine reale Umsetzung gibt. Und tatsächlich, in den historischen Überlieferungen fehlen mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierte Grenzprozeß-Berechnungen? Die Lücke wird insbesondere bei den drei klassischen Aufgaben sichtbar, beim Winkeldritteln, beim flächengleichen Umformen der Kreisfläche in eine Quadratfläche und beim Würfelverdoppeln.
Ein Grund für die Lücke sind die allgemein schwachen Konvergenzen der bekannten arithmetisch/algebraisch unendlichen Reihen. Bis zum Erreichen einer brauchbaren Ergebnis-Genauigkeit sind sehr viel Konstruktionsschritte auszuführen, was aus Zeit- und Aufwand-Gründen nicht real möglich ist.
Wegen der oben aufgezeigten Gründe suche ich für die klassischen drei Aufgaben nach klassisch konstruierten Grenzprozeß-Berechnungen bei starker Konvergenz, die nachvollziehbare Zusammenhänge von geometrischer Natur zur Grundlage haben. Sie sollen bereits mit wenigen Schritten eine sehr hohe Ergebnis-Genauigkeit liefern. ─ user1254f8 02.04.2024 um 13:17
Die o.g. Potenzreihe für \(\pi\) konvergiert recht schnell - etwa 15 Iterationsschritte für 10 Dezimalstellen.
Ähnlich schnell konvergent ist das Verfahren von Archimedes:
Konstruiere ein Quadrat, dass gerade so in den Einheitskreis passt.
Verdoppele die Ecken des Quadrates durch Halbierung des Innenwinkels, und das immer wieder.
Der Umfang dieser \(2^n\)-Ecke konvergiert gegen \(2\pi\).
Die Würfelverdopplung funktioniert mit dem sehr schnell konvergenten Newtonverfahren:
\(\displaystyle x_1=1\)
\(\displaystyle x_{n+1}=\frac{2x_n^3+2}{3x_n^2}\) für n=1,2,3,...
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} x_n= \sqrt[3]{2}\)
Ebenso lässt sich ein Winkel \(\alpha\) mit dem sehr schnell konvergenten Newtonverfahren approximieren:
Konstruiere \(\cos(\alpha)\).
Es gilt \((\cos(\alpha/3))^3-3\cos(\alpha/3) = \cos(\alpha)\).
Dies ist eine Gleichung in \(\cos(\alpha/3)\), die mit dem Newtonverfahren approximiert werden kann:
\(y_1=1\)
\(\displaystyle y_{n+1}=y_n-\frac{4x_n^3-3y_n-\cos(\alpha)}{12y_n^2-3}\)
Dann ist \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} y_n= \cos(\alpha/3)\).
Aus \(\cos(\alpha/3)\) lässt sich dann \(\alpha/3\) konstruieren.
─ m.simon.539 03.04.2024 um 01:53
Ähnlich schnell konvergent ist das Verfahren von Archimedes:
Konstruiere ein Quadrat, dass gerade so in den Einheitskreis passt.
Verdoppele die Ecken des Quadrates durch Halbierung des Innenwinkels, und das immer wieder.
Der Umfang dieser \(2^n\)-Ecke konvergiert gegen \(2\pi\).
Die Würfelverdopplung funktioniert mit dem sehr schnell konvergenten Newtonverfahren:
\(\displaystyle x_1=1\)
\(\displaystyle x_{n+1}=\frac{2x_n^3+2}{3x_n^2}\) für n=1,2,3,...
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} x_n= \sqrt[3]{2}\)
Ebenso lässt sich ein Winkel \(\alpha\) mit dem sehr schnell konvergenten Newtonverfahren approximieren:
Konstruiere \(\cos(\alpha)\).
Es gilt \((\cos(\alpha/3))^3-3\cos(\alpha/3) = \cos(\alpha)\).
Dies ist eine Gleichung in \(\cos(\alpha/3)\), die mit dem Newtonverfahren approximiert werden kann:
\(y_1=1\)
\(\displaystyle y_{n+1}=y_n-\frac{4x_n^3-3y_n-\cos(\alpha)}{12y_n^2-3}\)
Dann ist \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} y_n= \cos(\alpha/3)\).
Aus \(\cos(\alpha/3)\) lässt sich dann \(\alpha/3\) konstruieren.
─ m.simon.539 03.04.2024 um 01:53
Mit Zirkel und Lineal lassen sich genau diejenigen Zahlen konstruieren, die sich mit \(\sqrt{}, \cdot, /, +, -, 1\) erzeugen lassen. Das sind schon ziemlich viele. Diese Zahlenmenge liegt dicht in den reellen Zahlen, so dass das Konstruieren mit Zirkel und Lineal gegen jede beliebige reelle Zahl konvergieren kann.
─ m.simon.539 20.01.2024 um 00:00