Es geht wahrscheinlich auch mit Induktion, aber einfacher ist es per Widerspruch. Dann beginnst du so:
Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen \(p\) mit \(p\equiv 2\mod 3\). Seien diese \(p_1,\ldots,p_k\). Betrachte \(q=3p_1\cdots p_k-1\).
Jetzt musst du noch argumentieren, dass \(q\) durch keine der \(p_i\) teilbar ist und nicht alle Primfaktoren von \(q\) kongruent zu \(1\mod 3\) sein können. Dann entsteht ein Widerspruch dazu, dass jede Zahl eine Primfaktorzerlegung hat, also muss die Annahme falsch gewesen sein.
Probier mal, das noch selber fertig zu formulieren. Wenn du dabei noch Fragen hast, kannst du sie gern stellen.
Punkte: 11.27K
vielen Dank für die super Antwort!
Jetzt dürfte ich es hinkriegen, danke.
LG ─ physikstudent(1.s) 01.12.2020 um 13:58
ich habe doch noch eine Frage:
also q ist durch kein p teilbar, weil wir am Ende -1 rechnen, richtig?
Ich verstehe das, was danach kommt nicht "und nicht alle Primfaktoren von q kongruent zu 1mod 3 sein können."
Was genau heißt das und wie führt mich das dann zum Widerspruch?
Eine nähere Erklärung dazu wäre super.
vielen Dank! ─ physikstudent(1.s) 01.12.2020 um 14:17
Wir wissen, dass \(q\) eine Primfaktorzerlegung hat. Wir wollen zeigen, dass es einen Primfaktor von \(q\) gibt, der kongruent zu 2 modulo 3 ist, dann widerspricht das der Annahme, dass \(p_1,\ldots,p_k\) die einzigen Primzahlen dieser Form sind. Dieses Argument würde aber nicht funktionieren, Um das also zu zeigen, machen wir wieder einen Widerspruchsbeweis: Angenommen, alle Primfaktoren von \(q\) sind 0 oder 1 modulo 3. Was folgt dann für \(q\mod 3\)? Warum ist das ein Widerspruch? ─ stal 01.12.2020 um 15:23
also, ich versuche mal zu sagen, wie ich es verstanden habe:
zu zeigen ist, dass die Menge p unendlich ist.
Sei p endlich.
p teilt nicht q.
q ist zerlegbar in Primfaktoren.
Wenn wir jetzt zeigen, dass einer der Primfaktoren kongruent zu 2mod3 ist, haben wir eine neue Primzahl gefunden, die die Voraussetzung erfüllt, was der Annahme widerspricht, dass es nur endlich viele (nämlich p mit Laufindex i) gibt.
Sei dieser Primfaktoren 0 oder 1mod3. Dann wäre q entweder 0 oder nicht zerlegbar.
q kann nicht 0 sein, wenn man es mit der Formel:3* p1...-1 konstruiert, da p größer gleich 3 ist.
Wenn es 1mod3 ist, dann ist q selbst schon diese neue Primzahl und der Beweis endet hier.
Und wenn nichts von beidem zutrifft, dann ist der Primfaktor 2mod3.
Stimmt das so?
Vielen Dank für die Antwort!
LG ─ physikstudent(1.s) 01.12.2020 um 18:54
Jetzt wird es bei dir ein bisschen wirr. Am besten unterscheidest du nun zwei Fälle: 1. Es gibt einen Primfaktor von \(q\) der kongruent zu 0 modulo 3 ist. Dann ist dieser Primfaktor 3. Betrachte \(q\mod 3\) um zu zeigen, dass 3 nicht \(q\) teilt. 2. Fall: Alle Primfaktoren von \(q\) sind kongruent zu 1 modulo 3. Dann ist ihr Produkt \(q\) kongruent zu \(1\cdot1\cdots1=1\mod 3\). Das kann auch nicht sein, denn \(q=2\mod 3\). Also kann dieser Fall auch nicht auftreten. Da beide Fälle zum Widerspruch führen, muss es einen Primfaktor von \(q\) geben, der nicht in \(P\) liegt und kongruent zu \(2\) modulo 3 ist, Widerspruch.
Versuch jetzt nochmal, das sauber aufzuschreiben. ─ stal 02.12.2020 um 10:03
erst einmal vielen Dank für die ausführliche Antwort und die Zeit die du für mich aufwendest!
Bevor ich dir die neue Fassung schicke, habe ich noch 2 Fragen:
1. Wenn der Primfaktor 0mod3 = 0 ist, dann könnte er 3,6,9 usw. sein, aber auch 0 oder? Da könnte ich also noch einmal eine Fallunterscheidung machen, oder?
2. Wie schreibt man dieses P so fettgedruckt und groß/klein ? Ich habe in dem Code-Blatt nur Befehle für Formeln o.ä. gefunden.
Vielen Dank nochmal und LG. ─ physikstudent(1.s) 02.12.2020 um 13:41
2. Du schreibst einfach das P als Formel, also \ (P\ ), nur ohne Leerzeichen zwischen den \ und den Klammern. Dann bekommt man \(P\). Leider sieht man in Kommentaren erst nach dem Abschicken, ob die Formatierung richtig geklappt hat. ─ stal 03.12.2020 um 11:37