Betrachte mal die folgende Funktion auf dem Intervall zwischen den gestrichelten Linien. Da wird denke gut klar, was der Unterschied zwischen einem lokalen und einem globalen Maximum ist. In dem Fall ist das globale Maximum auch gleichzeitig ein lokales Maximum. Das muss aber nicht immer so sein (siehe Bild 2).

Ein lokales Maximum muss also nicht immer ein globales Maximum sein. Deshalb muss man die Funktion immer an den Rändern anschauen und gucken ob da die Funktion möglicherweise noch größer/kleiner ist als im lokalen Maximum/Minimum. Wenn die Funktion auf einem Intervall definiert ist, wie auf dem Bild, dann muss man die Funktion an den Grenzen des Intervalls auswerten. Ansonsten muss man sich den Grenzwert für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) anschauen.

Ein lokales Extrema ist dadurch definiert, dass der Funktionswert in einer gewissen Umgebung der lokalen Extremalstelle den größten/kleinsten Wert annimmt.

Im Gegensatz dazu ist ein globales Extremum dadurch charakterisiert, dass an dieser Stelle auf dem gesamten Definitionsbereich der kleinste/größte Funktionswert angenommen wird.

Eine Bestimmung von globalen Extrema ist nicht so direkt und leicht wie bei lokalen Extremalstellen. Viel mehr ist es, wie du ja auch bereits erwähnt hast, eine Kombination verschiedener Überlegungen. Dazu schaut man sich Grenzwertverhalten im Unendlichen, aber insbesondere auch an Unstetigkeitsstellen, wie z.B. Polstellen an. Anschließend gilt es lokale Extrema zu bestimmen, da diese dann häufig Kandidaten für globale Extrema sind.

Im ersten Schritt kannst du dann überprüfen, ob im Definitionsbereich der Funktion Definitionslücken vorliegen. Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten:

1. Grenzwerte an der Definitionslücke sind einmal + unendlich und einmal - unendlich. Dann folgt daraus direkt, dass die Funktion unbeschränkt ist und es kein globales Extremum gibt.

2. Beide Grenzwerte sind - unendlich. Dann ist die Funktion nach unten unbeschränkt und du kannst noch auf globale Maxima untersuchen.

3. Analog folgt die Überlegung für beide Grenzwerte gehen gegen + unendlich.

Anschließend (oder falls keine Definitionslücken vorliegen) gilt es das Verhalten im Unendlichen zu untersuchen.

Daraufhin folgt ein Vergleich der lokalen Extrema mit dem ermittelten Grenzwertverhalten der Funktion im Unendlichen.