Stelle den Term in der Reihe etwas um und du erhälst eine bekannte Reihendarstellung einer Funktion. Es gilt_

\(\displaystyle{\dfrac{1}{3} \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k\cdot (k+1)\cdot 3^k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{3} \cdot  \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k\cdot (k+1)\cdot 3\cdot 3^{k-1}}{(k-1)!\cdot k \cdot (k+1)} =\dfrac{1}{3} \cdot 3\cdot  \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{3^{k-1}}{(k-1)!} =\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{3^k}{k!}=....}\)

Der letzte Schritt folgt nach Indexverschiebung. Was muss dann als Ergebnis heraus kommen?

Hoffe das hilft weiter.