Da \(f\) differenzierbar ist, ist die Funktion insbesondere stetig und nimmt damit auf dem abgeschlossenen Intervall \([a,b]\) sein Maximum und Minimum an. Folglich gibt es \(k,K\in\mathbb R\) mit \(k\leq f(x)\leq K\) für alle \(x\in[a,b]\), wobei die Werte \(k\) und \(K\) auch tatsächlich angenommen werden. Integriert man diese Ungleichungen über \([a,b]\), folgt mit der Monotonie des Integrals, dass $$\int_a^bk\,dx\leq\int_a^bf(x)\,dx\leq\int_a^bK\,dx\Longleftrightarrow k\leq\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,dx\leq K.$$ Die Behauptung folgt nun mit dem Zwischenwertsatz.