Meine generelle Empfehlung: Beim Ind.Schluss mit der komplizierter aussehenden Seite anfangen, diese umformen, Ind.Vor. einbringen, bis man (hoffentlich) richtig am Ende rauskommt. Ist auch übersichtlicher und viel weniger Schreibarbeit. Und Klammern beachten bzw. setzen, wo nötig (lieber zuviel als zuwenig).

Konkret hier:

\(\prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-a_k) = (1-a_{n+1})\prod\limits_{k=1}^n (1-a_k) \ge\) Ind. Vor. \(\ge (1-a_{n+1})(1-\sum\limits_{k=1}^n a_k) =1-a_{n+1}-\sum\limits_{k=1}^n a_k + a_{n+1}\sum\limits_{k=1}^n a_k = \)

\(=1-\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k +\underbrace{a_{n+1}\sum\limits_{k=1}^n a_k}_{\ge 0???}\)

So weit so gut. Da wir bisher nur die Ind.Vor. eingebracht und umgeformt haben (d.h. keine Abschätzung gemacht), ist sichergestellt, dass wir noch auf dem richtigen Weg sind. Fertig sind wir aber nur, wenn wir wissen,  dass der letzte Summand \(\ge 0\) ist.

Und da zeigt sich, dass man immer die KOMPLETTE Aufgabenstellung abschreiben soll. Da steht bestimmt so was wie, alle \(a_i\ge 0\). Dann wären wir fertig. Die \(a_i\) dürfen aber auch nicht \(\ge 1\) sein, weil sonst die Ungleichung an der Stelle, wo die Ind.Vor. eingeht, nicht gilt.

Also bitte: Vollst. Ind. mit Text, nicht nur Formeln hinwerfen:

Also Muster: zu zeigen: .... mit ALLEN Angaben!!!

Ind. Anf..: n=1 ...., erfüllt!

Ind. Vor.: Gelte (Beh. abschreiben!!) für ein n.

Ind. Beh.: (Beh. mit n+1 anstelle n abschreiben)

Ind. Schritt: s.o.