Hallo,
meinst du die Gleichungen:
$$ \sqrt[m]{x^n} = x^{\frac n m} \\ \sqrt[m]{x^n} = \vert x \vert^{\frac n m } $$
Fangen wir mit der ersten an
$$ \sqrt[m]{x^n} = x^{\frac n m} $$
Wir unterscheiden zwei Fälle.
Der erste Fall ist für nichtnegatve \( x \), also \( x \geq 0 \):
Dieser Fall gilt für beliebige \( n \in \mathbb{Z} ,\ m \in \mathbb{N} \).
Der zweite Fall ist für negative \(x \), also \( x < 0 \):
Hier müssen wir aufpassen, da wir von negativen Zahlen nicht jede Wurzel ziehen können.
$$ \sqrt{-2} $$
können wir beispielsweise nicht berechnen, aber
$$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$
können wir bestimmen.
Deshalb gilt dieser Fall, wenn \( n \in \mathbb{Z} \) beliebig und \( m \in \mathbb{N} \) ungerade ist. Dadurch ziehen wir eine ungerade Wurzel und können negativen Zahlen einen Wert zuordnen.
Zur zweiten Gleichung. Durch den Betrag verbinden sich beide Fälle zum ersten Fall, da
$$ \vert -x \vert = \vert x \vert \geq 0 $$
gilt.
Grüße Christian
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