Konvergenz von Reihen

Aufrufe: 962     Aktiv: 05.11.2019 um 16:48
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Kann mir jemand bei der Aufgabe i) helfen? Ich weiss, dass die Reihe nicht konvergiert, sondern divergiert. Habe versucht es mit dem Quotientenkriterium zu beweisen, hab das jedoch nicht hinbekommen. Und das Majorantenkriterium verstehe ich nicht so ganz. Danke schon mal!

 

 

 

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Ich habe zwar von den ganzen Kriterien keine Ahnung, aber bist Du Dir da sicher mit der Divergenz? Mal so rein naiv betrachtet: Wenn n gegen unendlich geht. Dann kann man das +1 in der Klammer vernachlässigen. Also steht da im Prinzip \( \dfrac{n^n}{n^{n+1}}=\dfrac{n^n}{n^{n}n}=\dfrac{1}{n} \) Das sollte doch gegen 0 gehen.   ─   stehgold 05.11.2019 um 15:59
Ah, ist eine Reihe. Dennoch wird irgendwann faktisch nichts mehr addiert.   ─   stehgold 05.11.2019 um 16:00
Die Reihe divergiert aber leider trotzdem! :)   ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 16:05
Und zwar hast du das auch ganz hervorragend gezeigt, indem du eine divergente Minorante gefunden hast ;)
   ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 16:06
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Hallo, 

es gilt:

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}\geq\sum_{n=1}^\infty\frac{(n)^n}{n^{n+1}}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty.$$

Das ist das Minoranten-Kriterium. Du hast eine kleinere Reihe (divergente Minorante) gefunden (Min ist minimieren als Eselsbrücke), die aber trotzdem divergiert, dann muss die ursprüngliche Reihe erst recht divergieren! :)

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Student, Punkte: 2.6K

 
Ich hatte einen Tippfehler in den Klammern, das Doppeldollar geht in Antworten auch! :)   ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 16:11
Leuchtet mir nicht ein weil 1/n irgendwann quasi 0 wird, aber ich glaube Dir einfach mal. ;)   ─   stehgold 05.11.2019 um 16:15
Das ist die harmonische Reihe und das klassiche Gegenbeispiel dafür, dass jede Reihe über eine Nullfolge konvergiert! :)
Da ich die Analysis in meinen Videos sehr gründlich aufbereite, musst du dich vorerst hiermit zufrieden geben:
https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe,
aber es wird nicht mehr so furchtbar lange dauern, bis es ein Video von mir dazu geben wird! :)   ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 16:18
Folgen und Reihen kommen in der nächsten Kurseinheit für mich. Die startet nächsten Montag :) Noch muss ich mich mit Vektorräumen und Basen herumschlagen.   ─   stehgold 05.11.2019 um 16:21
Ein Video zu Folgen hab ich schon gemacht, aber so richtig gehts voraussichtlich am 24.11. los! :)
https://youtu.be/YYfwarq6R1Q (Analysis 052 - Folgen)
Aber Daniel hat ja auch einige Videos dazu! ;)
  ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 16:23
Lineare Algebra mache ich dann, wenn ich mit Analysis durch bin, aber an meiner Uni haben alle Analysis gehasst und fanden es so schwer, deshalb hab ich damit angefangen :P   ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 16:25
Aber jetzt scheine ich schonmal zu wissen was das Minorantenkriterium ist. Suche ich beim Majorantenkriterium eine größere Reihe die konvergiert und zeige so dass die gegebene auch konvergiert?   ─   stehgold 05.11.2019 um 16:39
Ja genau das machst du! :)   ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 16:48

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