Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz.

Aufrufe: 409     Aktiv: 14.11.2020 um 20:35
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 \( \sum_{k=1}^{\infty} 2k^{-k} \)

 

 \( \sum_{k=1}^{\infty}  \frac {(-1)^k*k} {k^2+1} \)

 

\( \sum_{k=1}^{\infty}  \frac {1} {\sqrt[k]{k!} } \)

 

Kann mir dabei jemand helfen? Ich habe keinen Ansatz, wie ich dabei vorgehen kann. Danke!

 

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Student, Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Verwende 1. Wurzelkriterium 2. Leibnizkriterium 3. Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel und Minorantenkriterium.

Hilft das?

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Ja das hilft, danke. Bei erstens komm ich auf 1/2.   ─   sam123 13.11.2020 um 11:12
Als Summe? Wie machst Du das? Die Summe brauchst Du nicht zu berechnen, es geht nur um die Konvergenz.   ─   slanack 13.11.2020 um 11:16
\( \vert k2^{-k} \vert \) = \( \sqrt[k]{k2^{-k}}\) = \( (k2^{-k})^{1/k} \) = \( k2^{-k/k} \) = \( k2^{-1} \) = k1/2 = 1*1/2 = 1/2   ─   sam123 13.11.2020 um 11:22
Die Gleichungen 1,3 und 6 stimmen nicht. Was willst Du erreichen?   ─   slanack 13.11.2020 um 11:48
Ich dachte bei dem Wurzelkriterium bildet man zuerst den Betrag und dann zieht man die Wurzel   ─   sam123 14.11.2020 um 09:01
Habe es noch einmal überarbeitet:
Mein Ergebnis ist k^(1/k)*2^(-1) und komme somit auf 0,5<1. Also ist die Reihe konvergent.   ─   sam123 14.11.2020 um 16:33
Ich komme auf \(\sqrt[k]{2k^{-k}}=\frac{\sqrt[k]{2}}{k}\to0\) für \(k\to\infty\). Daraus folgt natürlich auch Konvergenz.   ─   slanack 14.11.2020 um 20:35

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