Ich weiß nicht genau, was du mit hausdorff-Eigenschaft meinst, denn jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum. Ich gehe einfach mal davon aus, du meinst Totalbeschränktheit, denn dann ist die Aussage ein bekanntes Resultat.
Für den Beweis zeigst du die Äquivalenz am besten nicht mit Kompakt, sondern mit Folgenkompaktheit. Ist ein metrischer Raum \(X\) folgenkompakt, dann enthält jede Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge, ist also selbst konvergent. Folglich ist \(X\) vollständig. Ähnlich, z.B. per Widerspruch, kannst du dir überlegen, dass \(X\) totalbeschränkt ist.
Für die Umkehrung nimm eine beliebige Folge \((x_n)_{n\in\mathbb N}\subset X\). Mithilfe der Totalbeschränktheit konstruieren wir eine Art verallgemeinerte Intervallschachtelung: Überdecke \(X\) mit endlich vielen Bällen mit Radius 1. Einer dieser Bälle muss unendlich viele der \(x_n\) enthalten, sei dies \(B_1\). Überdecke nun \(B_1\) mit endlich vielen Bällen mit Radius \(\frac12\). Wiederum gibt es einen Ball, der unendlich viele der \(x_n\) enthalten muss, sei dies \(B_2\). Mach so immer weiter. Wähle dann \(y_i\in B_i\) beliebig. Dann ist \((y_n)_{n\in\mathbb N}\) eine Teilfolge von \((x_n)_{n\in\mathbb N}\). Zeige, dass \((y_n)_n\) eine Cauchy-Folge, also konvergent ist.