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Zuerst mal muss man den Typ der Differentialgleichung feststellen. Es liegt hier eine lineare inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung vor. Weil die Differentialgleichung linear ist, lässt sich das Superpositionsprinzip anwenden, d.h. die Lösung lässt sich in eine homogene und in eine partikuläre Lösung aufteilen.
1.) Homogene Lösung: Wir betrachten die homogene Differentialgleichung
\(x\cdot y'(x)-y(x)=0 \Leftrightarrow x\cdot y'(x)=y(x)\)
Für \(x\neq 0\) folgt \(y'(x)=\frac{y(x)}{x} \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y(x)}{x}\)
nun kann man die Trennung der Veränderlichen anwenden. Es folgt
\(\frac{dy}{y(x)}=\frac{dx}{x} \Rightarrow \int\frac{1}{y(x)}dy=\int\frac{1}{x} dx\)
Die Auflösung der beiden Integrale liefert auf beiden Seiten:
\(\ln(|y|)+C_1=\ln(|x|)+C_2 \Rightarrow \ln(|y|)-\ln(|x|)=C_2-C_1\)
Nun kann man auf der linken Seite ein Logarithmusgesetz anwenden und auf der rechten Seiten kann man die Differenz zweier Konstanten zu einer Konstante \(C_0\) zusammenfassen. Somit ergibt sich:
\(\ln(|\frac{y}{x}|)=C_0\)
Durch anwenden der Exponentialfunktion ergibt sich \(\frac{y(x)}{x}=e^{C_0}\). Setzt man nun \(C=e^{C_0}\) und löst man \(y(x)\) auf so ergibt sich die Homogene Lösung \(y_{h}(x)=C\cdot x\).
Kommen wir nun zur partikulären Lösung, welche man durch Variation der Konstanten lösen kann.
Es ergibt sich folgender Ansatz für die partikuläre Lösung: \(y_{p}(x)=C(x)\cdot x\)
Damit wir diesen Ansatz in die inhomogene Differentialgleichung einsetzen können, müssen wir diesen einmal ableiten. Es folgt mithilfe der Produktregel \((u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'\):
\(y_{p}'(x)=C'(x)\cdot x+C(x)\). Einsetzen ergibt nun:
\(x\cdot(C'(x)\cdot x+C(x))-C(x)\cdot x=x^2\cdot \cos(x)\).
Ausmultiplizieren und vereinfachen liefert:
\(C'(x)\cdot x^2+C(x)\cdot x-C(x)\cdot x= x^2\cdot \cos(x)\)
Es fällt auf das der Term \(C(x)\) verschwindet- dies ist bei linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung immer der Fall. Es verbleibt somit nach kürzen von \(x^2\):
\(C'(x)=\cos(x)\). Damit man auf \(C(x)\) kommt, muss auf beiden Seiten nach \(x\) integriert werden. Es ergibt sich somit:
\(C(x)=\sin(x)\). Die Integrationskonstante kann hier null gewählt werden. Einsetzen von \(C(x)\) in den Variationsansatz liefert: \(y_p(x)=\sin(x)\cdot x\)
Damit können wir die allgemeine Lösung durch Addition von homogener und partikulärer Lösung angeben:
\(y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C\cdot x+\sin(x)\cdot x=(C+\sin(x))\cdot x\)
Die Probe (Man zeige das diese konstruierte Lösung die inhomogene Differentialgleichung erfüllt) überlasse ich als Übung.
Student, Punkte: 55
