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Aufgabe:
Man untersuche für beliebige \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) den Grenzwert \(\lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t)\). Ist die Funktion \(f(x, y)\) an \((0,0)\) stetig?
\(f(x,y) = \frac{2y^2}{\vert x \vert + y^2}\) für \((x, y) \ne (0,0) \) und \(f(0,0) = 0\)
Ansatz:
\(\alpha = 0, \beta \ne 0\) :
\(f(\alpha t , \beta t) = \frac{2(\beta t)^2}{0 + (\beta t)^2} = 2 \)
\(\lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{2(\beta t)^2}{(\beta t)^2} = 2\)
\(\implies f(x, y)\) nicht stetig, da \(\lim_{t \rightarrow 0} f(0, \beta t) = 2 \ne f(0,0) = 0 \)
Frage:
Ist meine Vorgehensweise korrekt oder habe ich etwas falsch gemacht oder übersehen?
Man untersuche für beliebige \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) den Grenzwert \(\lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t)\). Ist die Funktion \(f(x, y)\) an \((0,0)\) stetig?
\(f(x,y) = \frac{2y^2}{\vert x \vert + y^2}\) für \((x, y) \ne (0,0) \) und \(f(0,0) = 0\)
Ansatz:
\(\alpha = 0, \beta \ne 0\) :
\(f(\alpha t , \beta t) = \frac{2(\beta t)^2}{0 + (\beta t)^2} = 2 \)
\(\lim_{t \rightarrow 0} f(\alpha t, \beta t) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{2(\beta t)^2}{(\beta t)^2} = 2\)
\(\implies f(x, y)\) nicht stetig, da \(\lim_{t \rightarrow 0} f(0, \beta t) = 2 \ne f(0,0) = 0 \)
Frage:
Ist meine Vorgehensweise korrekt oder habe ich etwas falsch gemacht oder übersehen?
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pekusbill
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