Du kannst vielleicht über das Quotientenkriterium die Konvergenz prüfen.
Quotientenkriterium: Sei \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} a_n}\) eine unendliche Reihe. Wenn es ein \(q\in \mathbb{R}\) gibt, so dass für fast alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt:
(1) \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq q<1\), dann konvergiert die Reihe absolut.
(2) \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \geq 1\), dann divergiert die Reihe.
Wende das mal auf dein Beispiel an. Der Betrag kann weggelassen werden, da der Ausdruck immer positiv ist. Es folgt also:
\(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| =\left|\dfrac{(n+1)^5 \cdot 2^n}{n^5 \cdot 2^{n+1}}\right| =\dfrac{(n+1)^5}{2n^5} =....\)
Wenn du mit dem Quotientenkriterium keine Aussage treffen kannst, kannst du noch andere Kriterien ausprobieren.
Vielleicht hilft dir diese Übersicht:
Hoffe das hilft weiter.
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Ich benutze den binomischen Lehrsatz für \(2^n\). Es ergibt sich:
\(2^n=(1+1)^n=\displaystyle{\binom{n}{0} +\binom{n}{1} +\binom{n}{2} +\ldots +\binom{n}{n-1} +\binom{n}{n}}=1+n+\dfrac{n(n-1)}{2!} +\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} + \ldots + \dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{7!} + \ldots + n+1\)
Mich interessiert eigentlich nur der Term mit \(7!\) im Nenner. Warum? Weil ja nun folgendes gilt:
\(\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{7!} <2^n \qquad \Leftrightarrow \qquad \dfrac{1}{2^n} < \dfrac{7!}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}\)
Somit kannst du deine Folge \(a_n\) aus der Summe abschätzen gegen:
\(\dfrac{n^5}{2^n} < \dfrac{7!\cdot n^5}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)} \leq \ldots \leq \dfrac{1}{n^2}\)
Damit hättest du eine konvergente Majorante gefunden, so dass deine Reihe absolut konvergiert. Ausgerechnet hab ich das noch nicht :D, aber man sollte mit ein bisschen rechnen am Ende ans Ziel kommen. Wenn du mich fragst ziemlich umständlich. Mit dem Quotientenkriterium würde es bei dieser Reihe deutlich schneller und unkomplizierter gehen ;D
Hoffe ich konnte dir wenigstens einen Denkanstoß geben. ─ maqu 27.12.2020 um 00:23
Von welcher Reihe möchtest du denn die Konvergenz prüfen wollen? Und ist der Laufindex von \(k=1\) oder von \(k=0\) ausgehend? ─ maqu 26.12.2020 um 13:11