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"Wäre (a,a) und (a,c) -> (a,c) ein Beispiel dafür, dass die Relation transitiv ist?" - Das ist die falsche Frage. Die Eigenschaften müssen für alle a,b,c usw. erfüllt sein. Man kann eine solche Eigenschaft also nicht durch ein Beispiel nachweisen.
Wenn man sie widerlegen will, reicht dagegen ein Gegenbeispiel (so wie Du es für Symmetrie gemacht hast).
Antisymmetrie: "für alle x, y ∈ X aus x R y und y R x stets x = y folgt.". Andere Leseweise: für alle x, y ∈ X gilt: wenn x R y und y R x erfüllt ist, dann gilt x = y.
Prüfe damit nochmal Deine Relation. Wiederhole auch die Aussagenlogik, insb. die Wahrheitstafel, wann eine "wenn-dann" Aussage wahr ist.
Für transitiv das gleiche.
Wenn man sie widerlegen will, reicht dagegen ein Gegenbeispiel (so wie Du es für Symmetrie gemacht hast).
Antisymmetrie: "für alle x, y ∈ X aus x R y und y R x stets x = y folgt.". Andere Leseweise: für alle x, y ∈ X gilt: wenn x R y und y R x erfüllt ist, dann gilt x = y.
Prüfe damit nochmal Deine Relation. Wiederhole auch die Aussagenlogik, insb. die Wahrheitstafel, wann eine "wenn-dann" Aussage wahr ist.
Für transitiv das gleiche.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 39.04K
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Bei a,b,c,d und dem x,y,z in der Def. gibt es genau $4^3=64$ Kombinationen, die geprüft werden müssten. Genau genommen. Praktisch prüft man nur die, in denen der "wenn"-Teil der Aussage erfüllt ist (wg der Aussagenlogik).
Du hast hier 6 der 64 Bedingungen hingeschrieben. Es fehlt zum einen die Begründung, warum das reicht und zum anderen, ob es nun erfüllt ist oder nicht. Du hast nur die Bedingung hingeschrieben, es fehlt die Auswertung.
Man kann sich auch überlegen, dass man den Fall x=y nicht prüfen muss, auch nicht den Fall y=z, denn dann ist die Folgerung sowieso für jede Relation erfüllt.
─ mikn 09.03.2024 um 23:43
Du hast hier 6 der 64 Bedingungen hingeschrieben. Es fehlt zum einen die Begründung, warum das reicht und zum anderen, ob es nun erfüllt ist oder nicht. Du hast nur die Bedingung hingeschrieben, es fehlt die Auswertung.
Man kann sich auch überlegen, dass man den Fall x=y nicht prüfen muss, auch nicht den Fall y=z, denn dann ist die Folgerung sowieso für jede Relation erfüllt.
─ mikn 09.03.2024 um 23:43
1)(a,c):
(a,c) ∧ (c,c) ⇒ (a,c)
2)(a,a):
(a,a) ∧ (a,c) ⇒ (a,c)
3)(b,b):
(b,b) ∧ (b,d) ⇒ (b,d)
4)(b,d):
(b,d) ∧ (d,d) ⇒ (b,d)
5)(c,c):
(c,c) ∧ (c,c) ⇒ (c,c)
6)(d,d):
(d,d) ∧ (d,d) ⇒ (d,d)
Somit ist die Relation transitiv, da für alle x,y,z ∈ R mit x R y und y R z gilt x R z. (Reicht das als Begründung oder muss ich das auf a,b,c,d beziehen? Wenn ja, wie stelle ich das mit 4 Buchstaben dar, wenn in der Definition aber nur 3 Buchstaben x,y und z stehen?)
Wie würde man die transitive Relation hier mathematisch korrekt aufschreiben?
Vielen, vielen Dank für Ihre hilfreiche Antwort von eben!
─ calculare 09.03.2024 um 23:16