Moin,

es gilt $$e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z}$$für $z\in\mathbb{C}$. Ersetzt man $z\mapsto -z$, erhält man $$e^{-iz}=\cos{(-z)}+i\sin{(-z)}=\cos{z}-i\sin{z}$$weil der Cosinus gerade und der Sinus ungerade sind. Addiert man beide Gleichungen, so erhält man
$$e^{iz}+e^{-iz}=2\cos{z}$$also $$\cos{z}=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$$für alle $z\in\mathbb{C}$.
Wenn man also den Cosinus von $i$ ausrechnen will, ist es hilfreich diese Definition des Cosinus zu verwenden.

LG