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Aufgabenstellung
Sei $c>0$ Für einen Startwert $x_{0} \in\left(0, \frac{2}{c}\right)$ sei die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}_0}$ rekursiv definiert durch
Sei $c>0$ Für einen Startwert $x_{0} \in\left(0, \frac{2}{c}\right)$ sei die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}_0}$ rekursiv definiert durch
$x_{n+1}=x_{n}\left(2-c x_{n}\right) \text { für } n \geq 0$
a) Zeigen Sie, dass die Folge für $n \geq 1$ monoton wächst und beschränkt ist.
b) Zeigen Sie, dass die Folge gegen $\frac{1}{c}$ konvergiert.
Bei a) sieht mein Ansatz wie folgt aus:
Also, dass $x_n+1 \geq x_n$ sein muss macht ja Sinn. Nur ich verstehe nicht ganz wie ich das jetzt beweise. Was kann ich jetzt mit $x_n-cx_n^2 \geq 0$ anfangen (sofern das korrekt ist) damit ich monotones Wachstum beweise?
Ein Tipp für b wäre auch super.
Bei a) sieht mein Ansatz wie folgt aus:
Also, dass $x_n+1 \geq x_n$ sein muss macht ja Sinn. Nur ich verstehe nicht ganz wie ich das jetzt beweise. Was kann ich jetzt mit $x_n-cx_n^2 \geq 0$ anfangen (sofern das korrekt ist) damit ich monotones Wachstum beweise?
Ein Tipp für b wäre auch super.
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user89b235
Student, Punkte: 48
Student, Punkte: 48
Du hast nur gezeigt, dass wenn die Folge konvergiert, dann gegen diesen Grenzwert, dass ist aber kein Beschränktheitsbeweis, mach das im Zweifel per Induktion
─
mathejean
12.01.2022 um 12:28
Soll ich also $\frac{1}{c} \geq x_n$ bzw. $\frac{1}{c}-x_n \geq 0$ beweisen?
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user89b235
12.01.2022 um 12:37
Für die Beschränktheit ja, mit deiner Rechnung zusammen mit a) hast du die b) dann gelöst :D
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mathejean
12.01.2022 um 13:18
Wie bekomm ich denn $\frac{1}{c} - x_n \geq 0$ bewiesen. Ich verstehe nicht wie ich da mit Induktion vorgehen soll. Und was ist dann danach mit der Monotonie?
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user89b235
12.01.2022 um 13:24