Ableitung Sinus-Kosinusfunktion

Aufrufe: 591     Aktiv: 27.02.2021 um 16:27
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Könnte jemand irgendeine Aufgabe von der 2 rechen. Also a oder b oder... 
Weiß gerade nicht genau, was ich da machen soll.
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Punkte: 89

 
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Weißt du denn, was die Ableitung des Sinus ist?   ─   stal 25.02.2021 um 14:45
Jup, cosx   ─   maxi1001 25.02.2021 um 14:51
Also Ableiten kann ich. Auch schwierigere Funktionen, bei denen ich die Produkt oder Quotientenregel bräuchte.   ─   maxi1001 25.02.2021 um 14:52
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Dann müsstest du bei der (a) ja nur noch die Gleichung \(\cos x=0\) im Bereich \([0,2\pi]\) lösen. Weißt du, wo der Kosinus Nullstellen hat?   ─   stal 25.02.2021 um 15:01
Ja, bei - +pi/2 und - + 3pi/2
   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:05
Tschuldigung, dass ich "pi" so schreibe.   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:05
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Genau genommen nicht nur da, sondern bei allen ungeraden Vielfachen von \(\frac\pi2\), also auch bei \(\pm\frac52\pi,\pm\frac72\pi\) etc. Jetzt musst du nur noch die Werte aussuchen, die im richtigen Intervall liegen.   ─   stal 25.02.2021 um 15:08
Ups genau. Ich hab gedacht das Intervall wäre von - 2pi bis 2pi, deshalb auch die Angabe.
Somit wären es dann nur die positiven Ergebnisse, die ich angegeben habe. Richtig?   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:13
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Genau, damit hast du die (a) schon gelöst.   ─   stal 25.02.2021 um 15:14
Und wie sieht es zb mit der c aus?   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:18
Da habe ich:
-sin(2x)-x=0

Wie kann ich jetzt soetwas berechnen?   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:19
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Nach Ableiten und Umstellen nach der Sinusfunktion kommst du auf \(\sin(2x)=-1\). Weißt du eine Stelle \(x_0\), an der der Sinus den Wert \(-1\) annimmt? (Ansonsten verwende deinen Taschenrechner.) Wegen der Periodizität ist dann \(2x=x_0+2k\pi\ ,\ k\in\mathbb Z\). Stelle noch fertig nach \(x\) um und finde dann alle Werte für \(k\), sodass \(x\) im richtigen Bereich liegt.   ─   stal 25.02.2021 um 15:21
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Du solltest -1 am Ende haben, nicht -x.   ─   stal 25.02.2021 um 15:22
Ok, ich schau es mir mal an. Ich melde mich gleich wieder.   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:22
Ah ja, das - x habe ich vergessen abzuleiten   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:23
Ok, also sinx hat -1
bei
-pi/2 und 3pi/2   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:25
Aber das hier ist ja sin2x   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:25
Also vielleicht sinhoch-1 =1 und das Ergebnis mit 2 multipliziert? Ist wsl falsch   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:26
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Genau, nehmen wir mal \(\frac32\pi\) (einfach nur, weil mir der Wert besser gefällt, ist komplett egal, welchen du nimmst.) Wie ich oben geschrieben habe, folgt dann \(2x=\frac32\pi+2k\pi\), weil der Sinus ja \(2\pi\)-periodisch ist. Das \(k\) bedeutet, dass für jedes \(k\in\mathbb Z\), das du einsetzt, dann das entsprechende \(x\) eine Lösung ist. Stellen wir nun nach \(x\) um, dann kommen wir auf \(x=\frac34\pi+k\pi\). Jetzt müssen wir also nur noch alle Werte für \(k\) finden, sodass \(x\) im richtigen Bereich liegt. Das ist in diesem Fall nur \(k=-1\) und \(k=0\), d.h. du hast zwei Lösungen \(-\frac\pi4\) und \(\frac34\pi\).   ─   stal 25.02.2021 um 15:33
Ah ok, verstanden. Von dieser Gleichung mit dem k habe ich noch nie gehört, aber gut zu wissen :D
Danke   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:42
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Du kannst auch durch Überlegen drangehen: Wenn du eine Lösung finden, mit \(\sin^{-1}\) und dann durch \(2\) teilen. Dann kommst du z.B. auf \(\frac34\pi\). Dann überlegst du dir, was die Periode von \(\sin(2x)\) ist, das ist \(\pi\), weil die Sinusfunktion um den Faktor \(2\) gestaucht ist. Folglich sind auch \(\ldots,\frac34\pi-2\pi,\frac34\pi-\pi,\frac34\pi,\frac34\pi+\pi,\frac34\pi+2\pi,\ldots\) Lösungen und dann überlegst du dir, welche im richtigen Intervall liegen. Die Methode mit dem \(k\) ist im Prinzip das gleiche, nur etwas methodischer.   ─   stal 25.02.2021 um 15:46
Ok, ne dch nicht :(
   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:47
Meine Frage:   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:48
Wenn x=3pi/4 +kpi habe, was muss ich dann nochmal machen?   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:49
Was meinst du mit, "X im richtigen Bereich liegt"?   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:50
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Dann hast du alle reellen Lösungen gefunden, jetzt musst du noch die finden, die im richtigen Intervall liegen. Dazu bestimmst du die ganzzahligen Werte für \(k\), sodass \(x\) in dem Intervall liegt. Geh einfach der Reihe nach durch, z.B. \(k=0\): \(x=\frac34\pi\), passt. Dann \(k=1\): \(x=\frac74\pi\), schon zu groß. Dann kommen auch keine größeren Werte für \(k\) in Frage, denn dadurch wird \(x\) ja immer noch größer. Machen wir also mit den negativen Werten weiter \(k=-1\): \(x=-\frac\pi4\): passt. \(k=-2\): \(x=-\frac54\pi\) ist zu klein. Analog zu oben, kleinere Werte für \(k\) können dann auch nicht mehr funktionieren.   ─   stal 25.02.2021 um 15:52
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"richtiger Bereich" meint das gegebene Intervall \(G\).   ─   stal 25.02.2021 um 15:53
Ahhh jetzt hab ichs :D
Solange mit k rechnen bis man auf beiden Seiten nicht mehr in dem Intervall drin ist. Innerhalb gelten dann einfach alle Ergebnisse.   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:58
Und diese 2x bei der a Gleichung kommen von der Klammer des Sinus oderd wegen der Periodizität?   ─   maxi1001 25.02.2021 um 16:00
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Das, was in der Klammer des Sinus steht, muss dann auch in der Gleichung links stehen. Wir haben mit \(\sin(2x)=...\) angefangen, also machen wir mit \(2x=...\) weiter.   ─   stal 25.02.2021 um 17:35
Wenn ich zb die d) bearbeite, dann komme ich zum Schluss auf:
x=pi/8•pi•k•pi
G ist von - 6 bis 6.
Ich dann raus:
x=0 für k=0
x=3,875 für k=1
x=-3,875 für k=-1
Für alle anderen k's passt es nicht mehr.   ─   maxi1001 26.02.2021 um 19:56
Das Problem ist, dass diese Lösung im " Lösungskasten" des Buchs nicht drin ist.
Nur - 4,0,4
Hat das Buch hier nur die gerundeten Werte angenommen?   ─   maxi1001 26.02.2021 um 19:57
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Ich denke, du hast dich irgendwo verrechnet. Die Ableitung ist \(\frac\pi4\sin(\frac\pi4x)\), also müssen wir \(\sin(\frac\pi4x)=0\) lösen. Eine Lösung dafür ist \(0\), also bekommen wir \(\frac\pi4x=0+k\pi\Longrightarrow x=4k\)   ─   stal 27.02.2021 um 10:44
Die Ableitung habe ich sogar richtig.   ─   maxi1001 27.02.2021 um 16:16
Ok, ich hatte das ein bisschen abgekürzt. In einer Periode gibt es zwei Punkte mit \(\sin y=0\), nämlich bei \(y=0\) und bei \(y=\pi\). Für jeden dieser Werte bekommen wir mit der \(2\pi\)-Periodizität eine unendliche Familie von Lösungen \(y=0+2k\pi\) und \(y=\pi+2k\pi\). Ich hatte das zusammengefassst zu \(y=k\pi\), was dasselbe ist. (Der Sinus hat Nullstellen bei allen ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\)) Bei uns ist jetzt \(y=\frac\pi4x\), also haben wir \(\frac\pi4x=k\pi\), und jetzt lösen wir nach \(x\) auf, indem wir mit \(\frac4\pi\) multiplizieren, dann kommst du auf die Lösung, die ich oben gegeben habe.   ─   stal 27.02.2021 um 16:27
Alles klar, hab meinen Fehler gefunden. Ich hatte zuerst einmal 2kpi mit xo multipliziert und zweitens habe ich dann die Gleichung falsch gelöst. Jetzt hatte ich es richtig :D   ─   maxi1001 27.02.2021 um 16:27
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1 Antwort
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Woran scheitert es dann, wenn du ableiten kannst? Du Aufgabe erfordert, dass du die Ableitung gleich Null setzt. Hast du das mal gemacht? Hast du dann Probleme die Gleichung zu lösen? Da gibt es nun zwei Möglichkeiten: 

1) Man kennt bestimmte Werte von Sinus und Kosinus und kann die Lösung direkt angeben. 
2) Man verwendet die Umkehrfunktionen \(\sin^{-1}\) und \(\cos^{-1}\), um die Werte zu berechnen, zum Beispiel \(\sin(x)=0{,}5\) liefert \(x=\sin^{-1}(0{,}5)\). Letzteres kannst du mit dem Taschenrechner berechnen. 

Achte darauf, dass es aufgrund der Periodizität mehrere Lösungen geben kann und dass deine Lösungen in der angegebenen Menge \(G\) liegen.
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Richtig, hab die Lösung oben schon hingeschrieben :) Falls sie Richtung ist.
Aber wie mache ich das, wenn die Gleichung komplexer wird?   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:07
Ach ja, das hast du ja schon geschrieben:D   ─   maxi1001 25.02.2021 um 15:12

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.