Falls das Integral auch rechnerisch bestimmt werden soll, bietet sich die Substitution an. Man sollte so substituieren, dass die Wurzel "verschwindet". Da es um einen Kreis geht, könnte man eine Winkelfunktion in Betrach ziehen. Überlege doch einmal welche. Tipp: Winkelpythagoras!

Die Antwort wurde bereits gegeben, es handelt sich um einen Halbkreis,
ein weiterer Hinweis wurde gegeben im Zusammenhang mit der Trigonometrie und dem Pythagoras:

\(sin^2(\varphi)+cos^2(\varphi)=1\)... trigonometrischer Pythagoras, das ist der Schlüssel.
Es handelt sich um die Kreisgleichung: \(x^2+y^2=r^2\) wobei \(r=1\)

Betrachtet wird aber nur die obere Kreislinie im Intervall \(0\leq x\leq 1\) somit ein Viertelkreis.
Erwartungsgemäß ist die Formel eines Viertelkreises \(A=\frac{r^2\cdot\pi}{4}\) also für \(r=1 \Rightarrow A=\frac{\pi}{4}\).

Mithilfe einer geeigneten Substitution sollten wir das Integral lösen können und das selbe Resultat erhalten:
Für die obere Einheitskreislinie gilt: \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\)

Setze nun \(x(\varphi)=\sin(\varphi)\Rightarrow \frac{dx}{d\varphi}=\cos(\varphi)\Rightarrow dx=\cos(\varphi)d\varphi\)
Außerdem gilt mit dem obens erwähnten trigonometrischen Pythagoras:
\(\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2(\varphi)}=\cos(\varphi)\)

Außerdem müssen die neuen Grenzen bei der Substitution beachtet werden:
\(x=\sin(\varphi)\Leftrightarrow \arcsin(x)=\varphi\) sofern \(\varphi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
Somit gilt \(\varphi_0=\arcsin(x=0)=0\) und \(\varphi_1=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}\)

Jetzt kann das Integral transformiert werden:
\(\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\varphi)^2 d\varphi\)

Das neue erhaltene Integral lässt sich auf zwei Varianten lösen (1.Variante mithilfe von Partieller Integration und trigonometrischer Pythagoras (Übung) )
Die 2. Variante verwendet das Verdoppelungstheorem und den trigonometrischen Pythagoras. Es gilt:

\(\cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi)-sin^2(\varphi)=2\cos^2(\varphi)-1\Rightarrow \cos^2(\varphi)=\frac{1}{2}(1+\cos(2\varphi))\)
Somit gilt für das Integral:
\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\varphi)^2 d\varphi=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}(2\cos(2\varphi)+1) d\varphi
=\frac{1}{2}\cdot[2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2\varphi)d\varphi+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi]\)

Das erste Integral verschwindet und beim zweiten Integral erhalten wir nach Multiplikation des Vorfaktors das gewünschte Resultat (q.e.d)

Ich hoffe damit ist alles geklärt.