Die Nullstellen können nicht analytisch berechnet werden. Es gibt einfach keinen Weg, diese Gleichung nach \(x\) aufzulösen. Man sieht leicht, dass es unendlich viele Nullstellen gibt. Für große Werte sollten die Nullstellen ungefähr bei \(\frac\pi2 n,\ n\in\mathbb N\) liegen, z.B. ist bereits die fünfte Nullstelle \(x\approx9.42518\) auf zwei Nachkommastellen genau \(3\pi\approx9.42478\).

Die Nullstellen der Ableitung kann man tatsächlich berechnen. Ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Da \(e^x\) nie 0 ist, können wir uns auf die Gleichung \(\sin(2x)+2\cos(2x)=0\) konzentrieren. Umstellen gibt \(\tan(2x)=-2\) und damit \(x=\frac12(n\pi-\arctan(2)),\ n\in\mathbb Z\).