Monotonieverhalten einer rekursiven Folge

Aufrufe: 514     Aktiv: 07.01.2021 um 18:01
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Kann mir vielleicht jemand helfen, wie man bei so einer rekursiven Folge das Monotonieverhalten herausfindet?

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Student, Punkte: 38

 
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Versuche, eine geschlossene Form der Folge zu finden. Rechne die ersten paar Glieder der Folge aus, stelle eine Vermutung des allgemeinen Terms auf und beweise ihn mittels vollständiger Induktion. Danach ist das Monotonieverhalten einfach.   ─   stal 06.01.2021 um 18:15
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Berechne doch Mal die Differenz zweier Folgeglieder:

\( x_{n+1}-x_{n} = \frac{x_{n}}{4} +1-x_{n} \)

Kannst du das umformen und abschätzen? Wenn das für alle \(x_{j}\), die erreicht werden größer als null ist, so ist die Folge monoton wachsend. Ist es immer kleiner null, so monoton fallend.

Vielleicht hilft dir das schon, sonst helfe ich gerne weiter!

Liebe Grüße, jojoliese

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Student, Punkte: 2.18K

 
Beim Abschätzen, bin ich mir meistens unsicher, was genau getan werden soll. Ich hab jetzt einfach mal die ersten Folgeglieder berechnet und die Vermutung aufgestellt, dass die Folge monoton wachsend ist. Danach habe ich durch vollständige Induktion im Induktionschritt abgeschätzt, dass (an/4)+1 < (an+1/4) +1 ist und somit gezeigt, dass die Folge für alle n Element der natürlichen Zahlen monoton wachsend ist.
Hoffe man kann das so lesen.   ─   wurzelbehandlung 07.01.2021 um 18:01

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