Irgendwas stimmt mit Deiner Lösung in der Tat nicht. Denn wenn y klein ist, muss, laut der Differentialgleichung, y' betragsmäßig groß werden.
Deine Lösung konvergiert aber für kleine y gegen \(-\pi/2\), und eine Funktion, die als Asymptote die Konstante \(-\pi/2\) hat, hat vermultich eine Ableitung, die gegen 0 konvergiert.
Ich habe Deine Lösung grafisch dargestellt; die erinnert nicht an eine Zykloide.

Die analytische Lösung wird in der Wikipedia nicht aus der Differentialgleichung gewonnen.
Stattdessen stellt man erstmal die Parameterdarstellung auf.
Dies wiederum macht man nach Art der Physiker, indem man sich vorstellt, ein Rad mit Radius r rolle die x-Achse entlang.
Die Winkelgeschwindigkeit des Rades sei \(\omega=-1\).
Das Rad stehe zur Zeit t=0 bei x=0.
Nun betrachte man denjenigen Punkt \((x,y)\) auf dem Rad, der zur Zeit t=0 beim Koordinatenursprung liegt.
Dann bewegt sich die Mitte des Rades (die Achse) mit Geschwindigkeit r, die Achse hat also die Koordinaten (rt,r).
Der Winkel \(\phi\) von \((x,y)\) in Bezug auf die Achse ist zur Zeit t=0 gleich \(\phi_0 = -\pi/2\).
Dann gilt \(\phi = \phi_0+\omega t = -\pi/2-t\).
Wäre die Achse im Koordinatenursprung verankert, dann hätte  \((x,y)\) die Koordinaten \((r\cos(\phi), r\sin(\phi))\) (Polarkoordinaten), was gleich
\((-r\sin(t), -r\cos(t))\) ist.
Da die Achse sich bewegt, addieren sich die beiden Bewegungen: \((x,y) = (rt-r\sin(t), r-r\cos(t)) = (r(t-\sin(t)), r(1-\cos(t)))\).
Daraus gewinnt man dann eine Funktion \(x(y)\), indem man \(y=r(1-\cos(t))\) nach t auflöst und das dann in \(x=r(t-\sin(t))\) einsetzt.