Beweis - e ist irrational

Erste Frage Aufrufe: 947     Aktiv: 03.12.2020 um 06:52
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Hallo,
ich hoffe es geht euch gut! Ich (Schüler 11. Klasse) habe heute einmal überlegt wie man die Irrationalität von e beweisen könnte und habe folgenden Beweis geführt. Bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich das wirklich genau so machen darf, oder ich einen kleinen Logikfehler habe. Kommt mir fast etwas einfach vor.

 

Es gilt:

\(e = \lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n \)

Beweis durch Widerspruch.

\( p \in \mathbb{Z}, \)  \(q \in \mathbb{N} \), wobei \(p\) und \(q\) teilerfremd sind.

\( \frac{p}{q} = \lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\)

\( \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{p}{q}} = \lim \limits_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n} \)

\( \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{p}{q}} = 1 \)

\( \frac{p}{q} = \lim \limits_{n \to \infty} 1^n \)

\( \frac{p}{q} = 1 \)

Weil aber \(p\) und \(q\) teilerfremd sind, kann e keine rationale Zahl sein.

\( \Box \)

 

Danke schonmal im voraus.

Viele Grüße

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Punkte: 12

 
Also DorFuchs hat den Beweis dazu vertont, ein Video dazu ist auf Youtube :)   ─   caro8998 02.12.2020 um 21:01
Ah danke, aber er hat das ja über die Summer der Kehrwerte der Fakultäten gemacht. Habe mich einfach gefragt ob das so auch ginge ;-)   ─   ztrixplsi 02.12.2020 um 21:24
Mein Gefühl sagt mir, dass du da nicht so ohne Weiteres die \(\lim\) hin und herschieben kannst. Eine mathematische Begründung habe ich aber nicht für dich   ─   1+2=3 02.12.2020 um 21:34
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Wenn der Beweis richtig wäre, dann hättest Du gezeigt, dass \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=1\) ist.  Das stimmt aber nicht.  Also muss es einen Fehler geben.

Der Fehler liegt im Schluss \[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{p}{q}}=1\Rightarrow\frac{p}{q}=\lim_{n\to\infty}1^n.\]  Warum glaubst Du, das folgern zu dürfen?

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Kann ich hier nicht einfach beide Seiten ^n nehmen? Wenn die Wurzel aus dem Bruch = 1 ist dann muss doch auch der Bruch gleich 1 sein und das wäre doch dann ein Widerspruch, oder nicht?   ─   ztrixplsi 02.12.2020 um 21:45
Dann wäre das "hoch n" aber um den Wert, den der Limes hat und nicht innerhalb!   ─   jojoliese 02.12.2020 um 22:00
Du kannst den Grenzwert nicht einfach ignorieren. Für *jede* Zahl \(a>0\) gilt nämlich \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\). Man kann daraus nicht einfach \(a=1\) folgern.   ─   slanack 02.12.2020 um 22:02
Das gleiche wäre in deinem zweiten Schritt
Wenn du die Wurzel nimmst kommst du nicht auf
lim \( 1+ \frac{1}{n} \) sondern
\( \sqrt[n]{\text{lim} (1+\frac{1}{n})^{n}} \)
So ohne Weiteres kannst du nicht einfach Operationen die du auf den Grenzwert anwendest hineinziehen   ─   jojoliese 02.12.2020 um 22:04
Hier ist das Problem eher, dass die Zahl \(n\) ja gar keine freie Variable ist, sie wurde ja schon im Grenzwert "verbraucht". Der Ausdruck \[\sqrt[n]{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n}\] ergibt einfach keinen Sinn.   ─   slanack 02.12.2020 um 22:13
Aber die Folgerung im zweiten Schritt ist richtig: Das Ergebnis ist nämlich wahr.   ─   slanack 02.12.2020 um 22:14
Nochmal zum ersten Kommentar: Auch hier gilt: \[\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{p}{q}}\right)^n\] ergibt keinen Sinn.   ─   slanack 02.12.2020 um 22:18
Und übrigens: Respekt für Deine Frage!   ─   slanack 02.12.2020 um 23:03
Ah, vielen Dank für eure Antworten. Das ergibt Sinn. Ich dachte mir irgendwie schon, dass das hin- und herschieben nicht funktioniert, konnte es aber noch nicht wirklich begründen.   ─   ztrixplsi 03.12.2020 um 06:52

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