Guten Tag,
ich habe meine wöchentliche Mathe Abgabe, und habe ein paar Fragen.

1) Bezüglich des Formels des Konvergenzradius = lim \( \ | \frac {ak} {ak+1} | \) , wann soll man die nicht verwenden?

2) ich musste den Konvergenzradius für diese Potenzreihe bestimmen und ich habe die obige Formel benutzt \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac {k^2+k} {k^\sqrt{k}} {x^{2k+1}} \) Ich komme mit weitere Umformung zu dem Limes von  | \(\ \frac {k^\sqrt{k+1}} {k^\sqrt{k}} \)|. Wie kann ich weiter machen?

3) Eine allgemeine Frage hier darf ich z.B. für diese Reihe  \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac {x^{5k}} {2^{k}+1} \) die Formel in 1 verwenden R=lim |\(\ \frac {1} {2^{k}+1} {(2^{k+1}+1)} \)| ( weil die Potenz von x ist nicht k sondern 5k frage ich..)

4) Für diese Reihe  \( \sum_{k=1}^{\infty} {sink}. {x^{k }} \) habe ich die Formel in 1 benutzt und so umformt damit ich am Ende das Limes von  |\(\ \frac {1} {sink 1 + cot k + cos 1} \)| Hier habe ich gesagt dieses Limes existiert nicht weil die Funktion cot ist periodic mit Periode pi und sie geht nicht in Richtung eines endlichen Wertes noch in Richtung einer Unendlichkeit. Stimmt hier meine Lösung? Wenn ja, bedeutet das diese Reihe divergent ist auf ganze R?

5) Bezüglich der Potenzreihe \( \sum_{k=1}^{\infty} {k^2}. {x^{k }} \) habe ich \(\ \frac {x^2 +x} {{(1-x})^3} \), was leider nicht mit dem Ergebnis von der Website von Wolfram Alpha übereinstimmt. Das ist jetzt eine schwere Frage, aber was sind typische Fehler hier? Ich habe meine Lösung überprüft und es scheint richtig zu sein.

Vielen vielen Dank im Voraus !!! :) Auch wenn Sie nur auf eine Frage meiner Fragen antworten können, bin ich sehr dankbar!!