Damit das ein vollständiges Differential einer Funktion \(f:R^3\longrightarrow R\) ist, muss u.a. gelten:

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = x^2\cdot y\cdot z^3\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = x^2\cdot z^3+\sin z\)

Wenn \(f\in C^2(R^3,R)\) ist, dann gilt nach Satz von Schwarz:

\(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y,z) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y,z)\) für alle \(x,y,z\).

Das ist aber offensichtlich hier nicht erfüllt. Daher kann es kein \(f\in C^2\) geben, dessen vollständiges Differential das gegebene ist.

Wenn man auch die weiteren Bedingungen aus dem Satz von Schwarz (die für die anderen zweiten partiellen Ableitungen und Kombinationen) anschaut, sieht man, dass das äquivalent zu \( rot\, f =0\) ist. Aber um \(rot\,f\) auszurechnen, muss man viel mehr rechnen. Zum Widerlegen der Aussage reicht ein Teil davon.

Das ganze gilt jetzt nur, wenn wir von \(f\in C^2\) reden. Ob es ein \(f\) mit geringeren Differenzierbarkeitsanforderungen gibt, dessen vollständiges Differential das gegebene ist, weiß ich nicht. Die Tatsache, dass in der Musterlösung mit der Rotation argumentiert wird, zeigt aber wie die Aufgabe gemeint ist - und dass sie nicht genau genug formuliert wurde (vermutlich nicht von Mathematikern).

Moin FFD.

Ein vollständiges Differential, oder auch bekannt als totales Differential, ist definiert durch:

\(df=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}}dx_i\), wobei \(f(x_1,\dots, x_n)\) von \(n\) Variablen abhängt.

Nun musst du schauen, ob deine Gegebene Differentialform diese Definition erfüllt!

Grüße