Auch wenn es kompliziert aussieht, man muss einfach Schritt für Schritt vorgehen. Ich geh das ganze mal am Beispiel von \(\frac{\partial T}{\partial x}\) durch.
Die Funktion besteht aus drei Summanden, also müssen wir jeden Summanden einzeln nach \(x\) differenzieren. Gehen wir sie also einfach durch:

1. In \(\arctan(t)e^{25y+x^2}\cdot t\) taucht das \(x\) nur einmal auf, das \(\arctan(t)\) und \(t\) können wir also einfach als Konstanten betrachten und abschreiben. Nach Kettenregel ist weiter die \(x\)-Ableitung der \(e\)-Funktion \(2xe^{25y+x^2}\). Insgesamt erhalten wir \(\frac{\partial T}{\partial x}=t\arctan(t)\cdot2xe^{25y+x^2}\).
2. Im mittleren Summanden taucht gar kein \(x\) auf. Das ist schön einfach, das fällt also beim Ableiten weg.
3. Den Logarithmus kann man natürlich problemlos mit der Kettenregel differenzieren. Ich persönlich finde es noch einfacher, zunächst \(\ln(rxy^2)=\ln(r)+\ln(x)+2\ln(y)\) umzuformen, dann sieht man sofort, dass hier die Ableitung nach \(x\) einfach \(\frac1x\) ist.

Insgesamt haben wir also \(\frac{\partial T}{\partial x}=t\arctan t\cdot2xe^{25y+x^2}+\frac1x\).
Für die anderen Ableitungen geht es genauso, einfach Schritt für Schritt die Regeln anwenden, die du kennengelernt hast.