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Die Lösungsmenge des Gleichungssystems
x1 + x3 - 5*x4 + 7*x5 = 0
x2 - 5*x4 = 0
x1 + x2 + x3 − 10* x4 + 7*x5 = 0
ist ein Unterraum U ⊂ R^5
Welche Dimension hat U?
Bestimmen Sie eine Basis von U
Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements U^⊥
Die Dimension bestimme ich ja durch eine Matrix, welche ich dann in eine Zeilenstufenform bringe, aber wie funktioniert das, wenn ich ein Gleichungssystem habe?
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gefragt
anonym31a33
Punkte: 23
Punkte: 23
Du kannst das LGS in Matrixschreibweise schreiben und auf ZSF bringen.
─
kallemann
07.01.2021 um 14:44
Wie funktioniert das in dem Fall?
─
anonym31a33
07.01.2021 um 14:48
Du kannst doch bestimmt eine ein LGS in Matrixschreibweise überführen oder? ;)
─
kallemann
07.01.2021 um 15:05
ist mir leider nicht bekannt :(
─
anonym31a33
07.01.2021 um 15:41
Vor jedem deiner x steht ein Koeffizient. Diese schreibst du in der Anordnung von dem LGS in eine Matrix, das sieht dann wie folgt aus:
\(\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 & -5 & 7\\
0& 1 & 0 & -5 & 0\\
1 & 1 & 1 & -10& 7
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
0\\
0\\ 0
\end{vmatrix}\)
Dann Gauß anwenden und ZSF aufstellen. ─ kallemann 07.01.2021 um 15:55
\(\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 & -5 & 7\\
0& 1 & 0 & -5 & 0\\
1 & 1 & 1 & -10& 7
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
0\\
0\\ 0
\end{vmatrix}\)
Dann Gauß anwenden und ZSF aufstellen. ─ kallemann 07.01.2021 um 15:55
0 1 -5 7 0
0 1 0 -5 0 0
0 0 0 0 0 0
das ist meine Lösung, also ist die Dimension dann 2, korrekt? ─ anonym31a33 07.01.2021 um 16:09
0 1 0 -5 0 0
0 0 0 0 0 0
das ist meine Lösung, also ist die Dimension dann 2, korrekt? ─ anonym31a33 07.01.2021 um 16:09
Ich habe eine andere ZSF raus.
Rechne III - I und dann III - II ─ kallemann 07.01.2021 um 16:17
Rechne III - I und dann III - II ─ kallemann 07.01.2021 um 16:17
1 0 1 -5 7
0 1 0 -5 0
0 0 0 0 0
so?
─ anonym31a33 07.01.2021 um 16:21
0 1 0 -5 0
0 0 0 0 0
so?
─ anonym31a33 07.01.2021 um 16:21
Ja genau und was folgern wir dann daraus? :)
─
kallemann
07.01.2021 um 16:23
2 Nichtnullzeilen, also 2 Dimensionen?
─
anonym31a33
07.01.2021 um 16:24
Lös doch mal das LGS also die Matrix in ZSF A*x = 0. Also jede der drei Gleichungen gleich null setzen. Du wirst festellen, dass es drei freie Variablen gibt.
─
kallemann
07.01.2021 um 16:28
verstehe ich gerade nicht so richtig :(
─
anonym31a33
07.01.2021 um 16:34
Wenn du das LSG aus meinem dritten Kommentar auf ZSF bringst, dann bekommst du folgendes:
\(\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 & -5 & 7\\
0& 1 & 0 & -5 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0& 0
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
0\\
0\\ 0
\end{vmatrix}\)
Das kannst du aber jetzt lösen oder? ─ kallemann 07.01.2021 um 16:41
\(\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 & -5 & 7\\
0& 1 & 0 & -5 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0& 0
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
0\\
0\\ 0
\end{vmatrix}\)
Das kannst du aber jetzt lösen oder? ─ kallemann 07.01.2021 um 16:41
x1 = - x3 + 5x4 - 7x5
x2 = 5x4
x3, x4, x5 - frei ─ anonym31a33 07.01.2021 um 16:46
x2 = 5x4
x3, x4, x5 - frei ─ anonym31a33 07.01.2021 um 16:46
Korrekt, also hat dein Lösungsraum die Dimension 3, somit besteht die Basis des Untervektorraum U aus 3 Vektoren.
Das orthogonale Komplement analog, nur halt mit der Transponierten. ─ kallemann 07.01.2021 um 16:50
Das orthogonale Komplement analog, nur halt mit der Transponierten. ─ kallemann 07.01.2021 um 16:50
achso okay, vielen dank...ich dachte, dass man die dimension immer an den nichtnullzeilen ablesen kann
─
anonym31a33
07.01.2021 um 16:52
