Dazu untersucht man auf partielle Differenzierbarkeit - hast Du vielleicht schon gemacht.
Zur (totalen) Differenzierbarkeit gibt es einen Satz der Vorlesung (garantiert auch in Deinen Unterlagen), der einen Zusammenhang zur part. D. herstellt. Die Ableitung ist eine lineare Abbildung von $R^2$ nach $R^1$, welche man wie jede andere lin. Abb. auch als Matrix schreiben kann (siehe Vorlesung zur lin. Alg.). Man gelangt in dieser Situation hier (Ableitungen als Matrizen) eigentlich zuerst zur Matrix, die dann für die lin. Abb. steht.
Kurz: Sollte alles in Deinen Unterlagen stehen, auch mit Beispielen.