Mir fällt dazu spontan folgende Lösung ein:

Sei \(X\) die Zufallsvariable, die den Durchmesser der Dichtung in mm beschreibt.

Die Abweichungen von \( 0,1 \)mm sind im Vergleich zum Sollmaß von \(22\)mm sehr klein. Wir können also näherungsweise von einer stetigen Verteilung von \(X\) ausgehen. Hierbei sehen wir die Dichtung als okay an, wenn der Durchmesser einen Wert zwischen \(21,5\) und \(22,5\)mm annimmt.

Da wir hier von einer "gewöhnlichen" zufälligen Abweichung vom Sollmaß ausgehen können, können wir nun annehmen, dass \(X\) normalverteilt ist. Als Erwartungswert können wir hierbei das Sollmaß \( E[x] = 22 \) annehmen. Die Standardabweichung \( \sigma = 0,5 \) ist in der Aufgabenstellung gegeben.

Als Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Produktionsstück okay ist, erhalten wir somit

\( P(21,5 \le X \le 22,5) = \int_{21,5}^{22,5} \frac{1}{\sqrt{2 \pi 0,5^2}} e^{ - \frac{(x-22)^2}{2 \cdot 0,5^2}} dx \approx 0,68 \)

Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produktionsstück falsch ist bei ungefähr \(32\) Prozent.

Ich hoffe, dass ich die Aufgabe richtig verstanden habe und dass meine Lösung soweit korrekt ist. Vielleicht sieht aber auch jemand eine andere Lösung?

Es kommt sehr darauf an wie falsche Dichtung definiert wird. Also ab welcher Abweichung hat man eine falsche Dichtung?