Pyramide mit Rechteck als Grundfläche

Aufrufe: 549     Aktiv: 27.10.2020 um 18:34
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Von einer Pyramide ABCDS mit einem Rechteck als Grundfläche kennt man die Koordinaten der Spitze (1,5/3/8).

A(9/0/8), B(6/6/2), C(2/2/0)

a.) Bestimme die Koordinaten des Punktes D der Pyramide! Erläutere die Eigenschaften einer geraden Pyramide und zeige, dass die gegebene Pyramide gerade ist.

b.) Berechne die Höhe h und das Volumen V der Pyramide.

c.) Wie groß ist der Winkel, den eine Seitenkante mit der Höhe der Pyramide einschließt?

Ich komme bei diesem Beispiel nicht voran und würde mich pber Hilfe freuen. :)

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Ich verstehe die Koordinaten der Spitze nicht, kannst Du sie bitte überprüfen?   ─   slanack 26.10.2020 um 11:52
Diese Koordinaten stehen so in der Angabe. Ich brauch noch die Formel für die Höhe und bei a.) konnte ich den Punkt D ausrechnen aber den Rest habe ich noch nicht geschafft   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 17:39
Ah, tut mir leid, ich bin 1.5 statt 1,5 gewöhnt und habe die Werte daher falsch gelesen. Ich überlasse Christian die weitere Hilfe.   ─   slanack 26.10.2020 um 18:03
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Hallo,

hier wird dir keiner einfach deine Aufgaben vorrechnen. Schreibe deshalb bitte immer dazu was du schon versucht hast und welche Gedanken du dir dazu gemacht hast. So können wir besser auf dein Unverständnis eingehen und dir besser helfen.

a) Wir wollen den Punkt \( D \) bestimmen. Wir haben außerdem eine rechteckige Grundfläche. Wir müssen \( D \) also so bestimmen, sodass wir ein Rechteck erhalten. 

Deshalb überlege dir zuerst, welche Eigenschaften hat ein Rechteck? Als Tipp: Wie verlaufen die Seiten eines Rechtecks zueinander?

b) Die Höhe ist der Abstand von Spitze zur Grundfläche. Wie kann man den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene bestimmen? 

c) Hier musst du die Höhe und eine Seitenkante als Vektor darstellen. Danach kannst du den Winkel berechnen. Ist dir klar wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kann?

Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal und schreibe einmal wo genau das Problem liegt.

Grüße Christian

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Danke für die Antwort! Ich habe bisher C berechnet da x noch unbekannt war. Bei a.) finde ich keine passende Formel wie ich D berechnen kann. Den rest von punkt a verstehe ich nicht ganz bzw weiß nicht wie ich es umsetzen kann.   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 16:29
Wenn du die c) berechnet hast, dann muss du ja mindestens auch die b) gerechnet haben. Was hast du denn bei der c) gerechnet?
Arbeiten wir uns mal zusammnen Stück für Stück durch die Aufgabe.
Wir haben wie gesagt eine rechteckige Fläche. Was bedeutet das für zwei gegenüberliegende Seiten? Wie verlaufen diese zueinander, also in welche Richtung verlaufen sie? Wie beschreibt man mathematisch eine Richtung?   ─   christian_strack 26.10.2020 um 17:26
Ich habe es geschafft den Punkt D zu berechnen. Ich habe c.) noch nicht geschafft. Ich meinte den Eckpunkt C, dieser war erst zu berechnen.
Ich verstehe bei a.) den Rest nicht ganz und finde keine passende Formel für die Berechnung von der Höhe h. Danke für deine Hilfe!   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 17:42
Ah ok ich verstehe. Sehr gut, Wenn du magst kann ich dein Ergebnis kontrollieren.
Nun zur b)
Die Höhe ist der Abstand von Grundfläche zur Spitze der Pyramide. Wir haben hier also ein Abstandsproblem.
Wie kann man die Grundfläche als Ebene beschreiben? Wie kann man den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene mit Hilfe der Vektorrechnung bestimmen?   ─   christian_strack 26.10.2020 um 17:50
Ich habe für D (5/-4/6) rausbekommen.
Ich glaube mit der Hesse‘schen Abstandsformel, aber ich weiß nicht wie die Gleichung der Ebene lautet.   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 18:54
Jap der Punkt stimmt :)
Genau das können wir zum Beispiel mit der Hesse'schen Abstandsformel machen. Für diese Formel benötigen wir die Ebene in Koordinatenform. Wir kennen ja 4 Punkte die innerhalb der Ebene liegen. Aus 3 Punkten kann man eindeutig eine Ebene in Parameterform bestimmen. Ist dir klar wie das geht?   ─   christian_strack 26.10.2020 um 19:12
Danke:) (9/0/8) + s*(-3/6/-6) +t*(-7/2/-8) ich glaube das stimmt nicht ganz oder?   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 19:28
`Gerne :)
Doch das ist richtig! Jetzt muss die nur noch in Koordinatenform umgeformt werden. Weißt du wie das geht?   ─   christian_strack 26.10.2020 um 19:30
Nein leider nicht   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 19:36
Also erstmal kurz zur Koordinatenform. Die Koordinatenform kommt aus der Normalform. Die Normalform hat die Form
$$ [\vec{x}-\vec{p}] \cdot \vec{n} = 0 $$
Für diese Form ist der Vektor \( \vec{x} \) variabel und der Vektor \( \vec{p} \) führt zu einem beliebigen Vektor in der Ebene. Durch die Differenz \( \vec{x} - \vec{p} \) erzeugen wir somit einen Vektor der in der Ebene liegt. Da \( \vec{n} \) für den Normalenvektor (der Vektor der senkrecht auf der Ebene steht) steht und das Produkt zweier senkrechter Vektoren Null ergibt, ergibt der Term Null.
Wäre \( \vec{x} \) nicht in der Ebene, dann wäre der Vektor der durch die Differenz entsteht nicht senkrecht zum Normalenvektor und wir würden auch nicht Null erhalten.
Ist das soweit verständlich?

Wenn wir die Normalenform ausklammern, dann erhalten wir
$$ [\vec{x}- \vec{p}] \cdot \vec{n} = \vec x \cdot \vec n - \vec p \cdot \vec n = 0 $$
Das können wir umstellen
$$ \vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{p} \cdot \vec{n} \Rightarrow n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = \vec{p} \cdot \vec{n} $$
Da wir den Punkt \( P \) gegeben haben, ergibt die rechte Seite eine Zahl. Nennen wir sie \( b \). Nun erkennt man auch die Koordinatenform
$$ n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = b $$
Warum zeige ich dir diese Herleitung?
Ich will dass dir klar wird, das du hier den Normalenvektor bestimmen kannst und die Koeffizienten (Einträge) des Normalvektors sind genau die Vorfaktoren in der Koordinatenform.
Das ist die einfachste Methode um auf die Koordinatenform zu kommen. Um am Ende noch \( b \) zu berechnen, kannst du für \( \vec{x} \) einen Punkt der auf der Ebene liegt einsetzen und so erhälst du den Wert für \(b \)
Ist das nachvollziehbar?

Also zuerst den Normalenvektor berechnen. Dafür bestimmst du einen Vektor der senkrechten auf deinen beiden Spannvektoren steht. Dies kannst du am einfachsten über das Kreuzprodukt. Aber nur wenn ihr das gemacht habt? Ansonsten musst du das mit dem Skalarprodukt machen. Ist dir klar wie das funktioniert?   ─   christian_strack 26.10.2020 um 20:08
Danke !! Soll ich also das Kreuzprodukt von AB und AC ausrechnen?   ─   schuelerxyz 26.10.2020 um 20:27
Ja genau :)
Das ergibt dir den Normalenvektor.
Die x-Koordinate des Normalenvektors ist dann der Koeffizient von \(x_1 \), die y-Koordinate von \( x_2 \) usw.
Danach müssen wir nur noch \( b \) bestimmen. Dafür setzen wir einen Punkt der auf der Ebene liegt für \( x_i \) ein und erhalten so \( b\)   ─   christian_strack 27.10.2020 um 11:51
Ich habe inzwischen alles lösen können nur für das Volumen habe ich noch keine passende Formel gefunden. Ich habe es mit V=(G*h)/3 versucht aber habe ein falsches Ergebnis erhalten   ─   schuelerxyz 27.10.2020 um 13:15
Alles klar sehr gut.
Zur Kontrolle ich habe die Höhe \( 6\ LE\),
Die Formel für das Volumen ist richtig. Vielleicht hast du dich bei der Grundfläche vertan? Was hast du dafür raus?   ─   christian_strack 27.10.2020 um 18:31
Als Volumen habe ich \( 108 \ VE \) heraus.   ─   christian_strack 27.10.2020 um 18:34

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