Gibt es eine reelle Funktion mit nur einem Extremum von ungeradem Grad?

Aufrufe: 403     Aktiv: 14.11.2020 um 18:18
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Wahr, oder Falsch:

  • Ein ungerade (reelle) Funktion kann als einziges Extremum ein Minimum an der Stelle x = 2 besitzen

 

Ich komme bei der Frage auf keine gute Begründung, mein Ansatz war eine stückweise definierte Funktion, die eben nur das Minimum umfasst.
Also die Aussage sei dementsprechend wahr.

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Hallo :-) Meines Wissens ist es zunächst mal ein Unterschied, ob eine Funktion "nur" einen ungeraden Grad hat, oder ob es eine ungerade Funktion ist. Eine Funktion mit ungeradem Grad kann nämlich auch x-Potenzen mit geraden Exponenten enthalten. Z. B. f(x)=x^3+x^2. Eine Funktion ist dagegen dann ungerade, wenn sie punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Und für eine ganzrationale Funktion bedeutet das, dass im Term ausschließlich x-Potenzen mit ungeraden Exponenten vorkommen. Z. B. f(x)=x^3+x.

Da in der Aussage von einer ungeraden Funktion die Rede ist, ist diese also punktsymmetrisch zum Ursprung. Besitzt sie an der Stelle 2 ein Minimum, dann besitzt sie an der Stelle -2 zwingenderweise ein Maximum. Geht man von D=R aus, dann ist die Aussage also falsch. Ob es nun bei der Aufgabe darum geht, den Definitionsbereich einzuschränken, damit die Aussage wahr wird, so wie du es vorschlägst, kann ich dir leider nicht sagen. :-) 

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Mehr Infos wurden uns auch nicht gegeben, außer dass stückweise definierte Funktionen auch zu den reellen Funktionen gehören.
Aber insgesamt geht es darum, ob es irgend eine Möglichkeit gibt, dass diese Aussage stimmt, oder eben nicht.   ─   vardowin 14.11.2020 um 17:17
Dann lässt es sich doch aber so gut begründen. :-) Es gibt eine ungerade Funktion, die es erfüllt. Z. B. eine ganzrationale Funktion dritten Grades, da gibt es nicht mehr als zwei Extremstellen, und wenn die eine bei 2 ist, ist die andere bei -2. Also definiert man sie eben nur für die positiven Zahlen, dann passt es ja. :-)   ─   andima 14.11.2020 um 17:25
Allerdings würde ich noch ergänzen wollen, dass stückweise bzw. abschnittsweise definierte Funktionen häufig auch in ganz R definiert sind, nur halt unterschiedlich in unterschiedlichen Bereichen von R. Wenn ich aber bei bei einer ganzrationalen Funktion die Definitionsmenge eingrenze, dann wird sie dadurch m. E. nicht zur abschnittsweise definierten Funktion. Und so würde ich, wenn ich mich entscheiden müsste, bei dieser Aufgabe davon ausgehen, dass der größtmögliche Definitionsbereich zu betrachen ist.
Und vielleicht noch wichtiger ... wenn ich die Definitonsmenge auf den positiven Bereich eingrenze, dann ist die Funktion ja nicht mehr punktsymmetrisch zum Ursprung, also nicht mehr ungerade. :-) So gesehen gehe ich davon aus, dass die Aussage falsch ist, eben weil eine ungerade Funktion die Punktsymmetrie zum Ursprung aufweist und dann gibt es nicht nur ein Maximum. :-)   ─   andima 14.11.2020 um 18:18

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