Hallo,

nein das stimmt leider nicht. Wenn du $2^{n+1}$ Summanden hast, und den letzten Summanden aufschreibst, hast du noch $2^{n+1}-1$ Summanden. und nicht $2^n$ Summanden.
Es ist ja $2^{n+1} = 2 \cdot 2^{n}$.
Also dadurch das wir hier von $n$ nach $n+1$ gehen, haben wir nicht einen Summanden mehr, sondern doppelt so viele.

Bei Induktionsanfang ist dir auch ein kleiner Fehler unterlaufen
$$ \sum\limits_{i=1}^2 \frac 1 k = \frac 1 1 + \frac 12 $$

Grüße Christian