Ich versuche folgende Ungleichung zu lösen:

$\\-3< \frac{x^{2}-3}{x+1}\leq 1$

Bisher habe ich versucht, dies mit zwei getrennten Ungleichungen zu lösen, sprich:
$\\-3< \frac{x^{2}-3}{x+1}\\
\text{ergibt: }x(x+3)< 0\\
L=]-\infty,-3[\cup ]0,+\infty[\\
\text{ }\\
\text{sowie: }\frac{x^{2}-3}{x+1}\leq 1\\
\text{ergibt: }x^{2}-x-4\leq 0\\
L=[\frac{1-\sqrt{17}}{2},\frac{1+\sqrt{17}}{2}]
$
Das ist aber absolut die falsche Vorgehensweise und ergibt keinen Sinn.

Könnt Ihr mir eine korrekte Vorgensweise erklären? Die Antwort kann ich selber errechnen.

Vielen Dank Euch allen.

Nach den beiden ersten Antworten unten schreibe ich hier noch einen Zusatz:

Das ist die grafische Darstellung mittels Geogebra.

Wenn ich meine Wertebereiche zusammenfasse, erhalte ich: $L=]0,\frac{1+\sqrt{17}}{2}]$, es fehlt aber der Bereich $L=]-3,\frac{1-\sqrt{17}}{2}]$

Mache ich einen Rechen- oder Denkfehler irgendwo?

Nochmals vielen Dank.