(1) Soll man laut Aufgabenstellung die Konvergenz einer Folge zeigen bzw. beweisen, ohne den Grenzwert direkt angeben zu müssen, muss der Beweis mit Hilfe der Definition einer reellen Cauchyfolge geführt werden.

(2) Soll man laut Aufgabenstellung den Grenzwert einer Folge bestimmen bzw. berechnen, reicht es aus mit Hilfe der Grenzwertsätze zu argumentieren.

(3) Soll man laut Aufgabenstellung zeigen bzw. beweisen, dass eine Folge den vorgegebenen Grenzwert annimmt, muss der Beweis mit Hilfe der Konvergenzdefinition reeller Folgen geführt werden.

In deinem Fall also (3) laut Aufgabenstellung (obwohl es sonst sicherlich über die Grenzwertsätze einfacher wäre)....

Ich gebe ein Beispiel:

Zeigen Sie:

\(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0\)

Beweis:

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig gegeben. Man wählt \(N(\varepsilon) > \dfrac{1}{\varepsilon^2}\). Dann folgt für alle \(n\in \mathbb{N}\) mit \(n\geq N(\varepsilon)\):

\(\left|\dfrac{1}{\sqrt{n}} -0\right|=\left|\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right| \leq \left|\dfrac{1}{\sqrt{N(\varepsilon)}}\right| <|\sqrt{\varepsilon^2}| =|\varepsilon|=\varepsilon\)

Somit gilt \(\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0\)

Du musst also die Definition anwenden und dir ein geeignetes \(N(\varepsilon)\) wählen, so dass du deinen Ausdruck

\(\left|\dfrac{2n+5}{5n-2} -\dfrac{2}{5}\right| \leq \ldots <\varepsilon\)

gegen \(\varepsilon\) abschätzen kannst.