Frage zur Definition einer Funktion, injektiv, surjektiv, bijektiv (Universität)

Erste Frage Aufrufe: 391     Aktiv: 03.09.2022 um 13:07
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Liebe Community,

Da wir zurzeit in der Universität das Thema Abbildungen und Funktionen Betrachten, bin ich als frischer Ersti leicht überrannt, wie unterschiedlich die Herangehensweise im Bezug auf die Definition von Funktionen im Verglecih zum Abitur ist. 

Es handelt sich hierbei um die im Bild zu sehenden Aufgaben f-j, wobei eine kleinschrittige und verständliche Erklärung der Aufgabe f) schon vollstens reichen würde. In dieser Aufgabe wird erfragt, ob wir die die Aussagen für valide Funktionen/Abbildungen halten und wenn ja, ob diese surjektiv, injektiv oder bijektiv sind.
Wenn ich die f) einmal ausschreiben müsste, so würde ich die Abbildung wie folgt verstehen:

Die Funktion ist durch die Definitionsmenge "Potenzmenge M" auf die Zielmenge "Potenzmenge M" (identische Menge?) abgebildet. Somit wird A auf das Komplement M von der Obermenge A abgebildet (ist letzter Ausdruck gleichzusetzen mit der Aussage A\M ?? )

Selbst im Falle, dass meine Definition richtig wäre, könnte ich aus ihr nichts schließen. Weder kann ich  mir den Definitionsbereich, noch die Funktion und kann somit auch keine Aussage zur Bijektivität etc. treffen. Dies könnte daran liegen, dass ich mir immer versuche einen Graphen und die für den Definitionsbereich geltenden x,y Werte vorzustellen. Ist das in diesem Fall überhaupt möglich? Und wenn nicht, wie kann ich hier rangehen, um diese Funktion deuten zu können?

Ich danke euch allen im Vorraus! 
LG, Leandro

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Funktionen, wie du sie aus dem Abitur kennst, sind nur besondere Abbildungen. Funktionen sind immer Relationen zwischen zwei Mengen. Im Abitur waren das überwiegend Abbildungen zwischen den reellen Zahlen, also $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. 

Bei deiner Aufgabe hast du jetzt andere Mengen und Funktionsvorschriften. Um das ein bisschen besser zu verstehen und auch zu verinnerlichen, hilft es, sich ein Beispiel rauszusuchen. Nimm zum Beispiel einmal die Menge $M=\{1,2,3\}$. Die Funktion bildet jetzt von der Potenzmenge von $M$ in die Potenzmenge von $M$ ab, das bedeutet salopp gesagt, dass du ein Element der Potenzmenge von $M$ in die Funktion reinsteckst und am Ende wieder ein Element der Potenzmenge von $M$ herausbekommst. Beispielsweise könntest du $F_M(\{1,2,3\})$ ja einmal berechnen. 

Hier ist $\complement_M A=M\setminus A$ das Komplement von $A$ bzgl. $M$. 

Spiel das mal mit ein paar Beispielen durch. Wenn das soweit klar ist, kann man sich überlegen, ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.
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Wenn also Potenzmenge M in Potenzmenge M mit M(1,2,3) gilt, so kann für jedes "x" nur 1,2,3 eingesetzt werden, und auch nur 1,2,3 herrauskommen. Soweit so gut. Aber jetzt kommen wir zu dem Teil mit dem Komplement. Hier blicke ich irgendwie nicht durch.

PS: vergessen: Dadurch dass M Potenzmenge ist, natürlich auch die Kombination (1,2) ... (1,3) etc möglich   ─   user5bb929 02.09.2022 um 19:17
Ich versuche den Ausdruck ∁mA = M zu lesen, als wäre es eine stinknormale Aussage wie xhoch2 etc. Aber das einzige was ich in diesem Ausdruck erkenne: Menge A wird abgebildet auf M\A. Somit sind alle Abbilder von A in M, nur nicht Werte aus A selber. Ich glaube ich habe irgendwas noch nicht verstanden um das richtig zu deuten... sehr frustrierend   ─   user5bb929 02.09.2022 um 19:33
und wie sieht diese Berechnung dann aus? Daran scheiterts ja..   ─   user5bb929 02.09.2022 um 20:06

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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Funktionen sind Zuordnungen: Einem Objekt (math.: "Element") aus dem Defbereich wird ein Objekt (math.: "Element") aus dem Wertebereich zugeordnet, mittels der Funktionsvorschrift.
Daher macht man sich zuerst klar, von welchem Typ die Objekte im Defbereich und von welchem die im Wertebereich sind. Hier (bei f)) sind diese Objekte Mengen (weil die Elemente des Defbereichs Elemente der Potenzmenge sind, also Mengen (von Zahlen))
Einer Menge wird also eine andere Menge zugeordnet.
Das muss man sich als erstes wirklich klar machen, dann ist der Rest einfach. Der Funktionsbegriff ist absolut zentral in der Mathematik (auch in der Informatik) und viele Probleme resultieren von mangelndem Verständnis dieses Begriffs.
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Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.