Die informelle Erklärung (die man sich vielleicht auch merken kann) ist die Folgende:
Bei \( P(A \cup B) \) werden die Elemente aus \( A \cap B \) genau einmal berücksichtigt, denn sie kommen in \( A \cup B \) genau einmal vor. Bei \( P(A)+P(B) \) werden die Elemente aus \( A \cap B \) aber zweimal berücksichtigt, da sie sowohl in \( A \) als auch in \( B \) einmal vorkommen. Deshalb muss man einmal \( P(A \cap B) \) abziehen.
Die mathematische Begründung ist:
Man darf genau dann \( P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) \) schreiben, wenn \( X \) und \( Y \) disjunkt sind. Das folgt unmittelbar aus der Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes.
Also müssen wir \( A \cup B \) zunächst in disjunkte Mengen zerlegen. Beispielsweise so
\( A \cup B = (A \setminus (A \cap B)) \cup (B \setminus (A \cap B)) \cup (A \cap B) \)
Weil wir nun disjunkte Mengen haben können wir also schreiben
\( (*) \ \ \ \) \( P(A \cup B) = P(A \setminus (A \cap B)) + P(B \setminus (A \cap B)) + P(A \cap B) \)
Was ist nun \( P(A \setminus (A \cap B)) \) und \( P(B \setminus (A \cap B)) \)?
Nun, wir können \( A \) disjunkt zerlegen durch \( A = (A \setminus (A \cap B)) \cup (A \cap B) \). Wir erhalten also
\( P(A) = P(A \setminus (A \cap B)) + P(A \cap B) \)
oder anders hingeschrieben
\( P(A \setminus (A \cap B)) = P(A) - P(A \cap B) \)
Völlig analog erhalten wir
\( P(B \setminus (A \cap B)) = P(B) - P(A \cap B) \)
Setzen wir diese beiden Resultate in die Gleichung \( (*) \) ein, so erhalten wir die gewünschte Aussage
\( P(A \cup B) \) \( = P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B) + P(A \cap B) \) \( = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)