Hey,

die vollständige Induktion sollte hier das Mittel der Wahl sein.

Zunächst prüfst du dafür den Induktionsanfang, d.h. du schaust, ob die Aussage für \( n = 1 \) wahr ist.

Anschließend stellst du die Induktionsvoraussetzung auf. Dafür nimmst du an, dass die oben gestellte Gleichung gilt.

Der wichtigste Schritt ist nun der Induktionsschritt. Dabei überführst du die Aussage von \( n \) auf \( n + 1 \) und zeigst, dass diese Aussage auch dann gilt. Dabei muss man meist die Induktionsvoraussetzung anwenden und dann auf die Korrektheit der Aussage schließen.

Die Idee hinter der Induktion ist nämlich, wenn du für \( n = 1 \) und \( n + 1 \) die Gültigkeit gezeigt hast, dass daraus die allgemeine Gültigkeit für alle beliebigen natürlichen Zahlen \( n \in \mathbb{N} \) bewiesen wurde.

Wenn Du eine Herleitung ohne Induktion bevorzugst: Mit Partialbruchzerlegung hat man \(\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}\). Damit kann man die Summe aufteilen auf zwei Summen und die gegeneinander verrechnen (mit Indexverschiebung oder durch simples Ausschreiben der Summen). Da bleibt dann nicht mehr viel übrig...