Hallo liebe Community,

\( F(x)=\left[\begin{array}{c}f_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right) \\ f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] \)
\( \operatorname{mit} f_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=4 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}-36 \) und \( f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}-1\right)^{2}+\left(x_{2}+2\right)^{2}-9 \)

Meine Aufgabe besteht nun darin, durch eine grafische Darstellung einen Näherungswert x0 zu bestimmen. Mit x0 sollen dann 3 Schritte des zweidimensionalen Newtonverfahrens durchgeführt werden. 

Zum iterativen Newtonverfahren habe ich folgendes gefunden:

1. Man wählt einen Anfangswert \( \boldsymbol{x}_{0} \in \dot{D} \)
2. Man berechnet \( \boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{x}_{3}, \ldots, \boldsymbol{x}_{k}, \ldots, \) indem man nacheinander für \( k=0,1,2, \ldots \)
das Gleichungssystem
\( \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_{k}\right) \boldsymbol{z}_{k+1}=-\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{k}\right) \)
nach \( \boldsymbol{z}_{k+1} \) auflöst und \( \boldsymbol{x}_{k+1}:=\boldsymbol{x}_{k}+\boldsymbol{z}_{k+1} \) bildet. Dabei wird \( \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_{k}\right) \) als regulär und
\( \boldsymbol{x}_{k} \in \dot{D} \) für \( k=0,1,2, \ldots \) vorausgesetzt.
3. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn \( \left\|\boldsymbol{x}_{k+1}-\boldsymbol{x}_{k}\right\| \) unterhalb einer vorgegebenen
Genauigkeitsschranke liegt oder eine vorgegebene maximale Iterationszahl erreicht
ist.

Wie dieses Verfahren auf meine Aufgabe anwende, ist mir nicht klar. Wenn mir hierbei jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar!