(Twitter)
4
Es hängt damit zusammen, das es zu einer Häufung der Zeitmesspunkte kommt.
Sagen wir mal, Achilles bewegt sich viermal so schnell voran als die Schildkröte. In Gedanken entsteht eine Folge ((\(\frac{1}{4})^n\)) der Abstände zwischen Achilles und der Schildkröte. Diese Folge bleibt stets positiv, also überholt Achilles die Schildkröte nie.
Man muss aber die Zeit berücksichtigen. Die erste Messung findet zum Zeitpunkt \(t_1\) = 1, die zweite bei \(t_2\) = \(t_1\) + 1/4, die dritte bei \(t_3\) = \(t_2\) + 1/16 u.s.w. Wir erhalten eine Reihe:
\(t_n\) = \(\sum_{j=0}^{n}(\frac{1}{4})^j\) = \(\frac{1-(\frac{1}{4})^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}\) = \(\frac{4}{3}\)(1- (\(\frac{1}{4})^{n+1}\)). Das heißt jetzt: Keine der Messung findet später als \(t_{max}\) = 4/3 statt. Es stimmt also gar nicht, das Achilles nie die Schildkröte überholt, er überholt sie nur nicht in den ersten 4/3 Zeiteinheiten.
Bei den Umformungen in der Reihe habe ich die geometrische Reihe verwendet.
Sagen wir mal, Achilles bewegt sich viermal so schnell voran als die Schildkröte. In Gedanken entsteht eine Folge ((\(\frac{1}{4})^n\)) der Abstände zwischen Achilles und der Schildkröte. Diese Folge bleibt stets positiv, also überholt Achilles die Schildkröte nie.
Man muss aber die Zeit berücksichtigen. Die erste Messung findet zum Zeitpunkt \(t_1\) = 1, die zweite bei \(t_2\) = \(t_1\) + 1/4, die dritte bei \(t_3\) = \(t_2\) + 1/16 u.s.w. Wir erhalten eine Reihe:
\(t_n\) = \(\sum_{j=0}^{n}(\frac{1}{4})^j\) = \(\frac{1-(\frac{1}{4})^{n+1}}{1-\frac{1}{4}}\) = \(\frac{4}{3}\)(1- (\(\frac{1}{4})^{n+1}\)). Das heißt jetzt: Keine der Messung findet später als \(t_{max}\) = 4/3 statt. Es stimmt also gar nicht, das Achilles nie die Schildkröte überholt, er überholt sie nur nicht in den ersten 4/3 Zeiteinheiten.
Bei den Umformungen in der Reihe habe ich die geometrische Reihe verwendet.
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
sorcing
Punkte: 240
Punkte: 240
Im Endeffekt heißt das dann dass die Summe all dieser Teilzeiten endlich einen endlichen Wert ergibt, den man problemlos früher oder später erreicht.
Dementsprechend müsste es für die Summe der Abstände auch entsprechend sowas wie eine obere Grenze geben.
Die gerade den Überholort beschreibt und die der Achilles natürlich irgendwann erreicht weil er sich ja mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
Sinn machts auch wenn ich noch nicht perfekt den Fehler in dem ursprünglichen Denken benennen kann.
Wobei es vermutlich in der Annahme liegt dass, da ja die Abstände nie null werden, man verleitet ist zu denken dass die Summe der Abstände auch was unendlöiches ergeben muss weil ja es unendliche viele Abstände gibt.
Was aber nicht so ist, offensichtlich.
Genauso wie man die immer kleiner werdenden Teilzeiten addieren kann und es kommt trotzdem was Endliches raus. ─ densch 16.07.2021 um 00:52