Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes in metrischen Räumen

Aufrufe: 955     Aktiv: 17.11.2019 um 15:46
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Hallo,

ich brauche hilfe dabei folgenden Beweis zu verstehen.

Das ist nicht der vollständige Beweis,da ich den Rest verstehe. Den Anfang verstehe ich auch. Ich verstehe nur die letzten beiden Umformungen die da gemacht werden nicht. Ich glaube, dass die geometrische Reihe verwendet wird, aber bin mir nicht sicher in welchem Schritt genau.

 

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Hallo,

eigentlich hast du alles richtig gedeutet. Es ist 

$$\sum\limits_{k=n+1}^{m}q^{k-n}d(x_n,x_{n-1})\leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}q^{k}d(x_n,x_{n-1})=\frac{q}{1-q}\ d(x_n,x_{n-1}).$$

Und wegen \(x_n := g(x_{n-1})\)  folgt mit (2), dass 

$$ \frac{q}{1-q}\ d(x_n,x_{n-1})\leq \frac{q^n}{1-q}\ d(x_1,x_{0}).$$

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