7. a) Überlege dir zuerst die Bedingungen für die Parralelität zur \(x_2x_3-\) bzw. \(x_1x_2-\) Ebene

1. Bedingung \(x_2x_3-\)Ebene: \(x_1=const.\)
2. Bedingung \(x_1x_2-\)Ebene: \(x_3=const.\)

damit

\(2+s\cdot a= const. \) bzw. \(3+s\cdot 3a=const.\) was offensichtlich nur für \(a = 0\) gegeben ist.

b) Schnittpunkt mit der \(x_1x_2-\)Ebene impliziert \(x_3=0\).
Durch Einsetzen in g erhält man:

\(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\-5\\3\end{bmatrix} + s\cdot\begin{bmatrix}a\\-2\\3a\end{bmatrix}\)

Jetzt sieht man sich die Gleichung für \(x_3\) an:

\(0=3+s\cdot 3a \Rightarrow s=-\frac{1}{a}\)

Einsetzen in g liefert:

\(\boldsymbol{P}_a = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2-\frac{a}{a}\\-5+\frac{2}{a}\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\-5+\frac{2}{a}\\0\end{bmatrix}\)

c) \(P_a\) lässt sich einfach als Geradengleichung für die Gerade k interpretieren:

\(k: \;\boldsymbol{x}= \boldsymbol{P}(a) = \begin{bmatrix}1\\-5\\0\end{bmatrix} + \frac{1}{a}\begin{bmatrix}0\\2\\0\end{bmatrix}\)

d) Überlege dir zuerst, was für die Winkelhalbierende gelten muss:

\(x_2x_3-\)Ebene impliziert \(x_1 = 0\), sowie \(x_2=x_3\) (Man überlege sich analog die Gleichung der Winkelhalbierenden in der \(x-y-\)Ebene: \(y=x\)).
Da die \(x_2x_3-\)Ebene den Ursprung schneidet, kann dieser als Startpunkt der Gerade gewählt werden, die Richtung wird durch den Vektor \(\begin{bmatrix}0 & 1 & 1\end{bmatrix}^T\) bestimmt.
Damit ergibt sich für die Gleichung der Winkelhalbierenden der \(x_2x_3-\)Ebene \(w\):

\(w:\; \boldsymbol{x} = \lambda\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}\quad , \lambda \in \mathrm{R}\)

Zur Berechnung des Schnittpunktes können nun einfach \(w\) und \(g\) gleichgesetzt werden, was folgendes LGS ergibt:

\(\begin{cases}0= 2 + s\cdot a\\ \lambda= -5 -2s\\ \lambda= 3+s\cdot 3a\end{cases}\)

Dieses kann nun mit einem System deiner Wahl (z.B. über wolframalpha gelöst werden:

\( \lambda = -3, \; s = -1, \; a=2 \)

Setzt man nun beispielsweise \(\lambda\) in \(w\) ein, erhält man den Schnittpunkt \(S_{g,w}\) (Nicht in der Aufgabenstellung gefordert, aber denke ich trotzdem ganz interessant) mit

\(\boldsymbol{S}_{g,w} = -3 \cdot \begin{bmatrix}0 \\1 \\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\-3\\-3\end{bmatrix}\)