Voraussetzungen Untervektorraum

Aufrufe: 458     Aktiv: 17.01.2021 um 14:38
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Hallo, laut meinem Skript sind die VSS für einen Untervektorraum die abgeschlossenheit bezüglich der Addition und skalarer Multiplikation.

In einer Aufgabe sollten wir zeigen, dass der Vektorraum der abbrechenden reellen Folgen ein Untervektorraum des l^2 (also dem Vektorraum der quadratisch summierbaren reellen Folgen) ist. Dabei sind wir so vorgegangen, dass wir gezeigt haben, dass der "zu zeigende Unterraum" eine Teilmenge des Vektorraums ist. Dann wurde gesagt, dass auch der zu zeigende Unterraum (laut Definition in der Aufgabe) ein Vektorraum ist. 

Daraus wurde dann gefolgert, dass es ein Untervektorraum ist.

Meine Frage: hier wurde doch garnicht auf addition und skalare Multiplikation getestet? Ist das also eine alternative Vorangehensweise? 

Vielen Dank im Voraus!

PS: Zuzsätzlich habe ich mich gefragt, ob der Vektorraum der abbrechenden reellen Folgen eigentlich unendlichdimensional ist oder nicht... Meine Vermutung ist, dass er unendlichdimensional ist. Aber theoretisch hat er ja endlich viele Stellen und man könnte siozusagen eine endliche Basis aufstellen oder? Ich bin etwas verwirrt, falls jemand darauf auch eine Antwort hätte würde ich mich sehr freuen :)

 

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Ohne zu wissen, wie genau "abbrechende reelle Folgen" definiert sind (vielleicht kannst Du mir da weiterhelfen? ;-) ), die Definition für einen Vektorraum enthält die Abgeschlossenheit, da alle Operationen "innere Verknüpfungen" sein müssen. Mit Vektoraddition und Skalarmultiplikation kann man per Definition einen Vektorraum nicht verlassen. Wenn man also nachweist, dass es sich um einen Vektorraum handelt, muss man auch implizit die Abgeschlossenheit nachprüfen. (Summe von zwei abbrechenden reellen Folgen muss eine abbrechende reelle Folge sein, Multiplikatino von abbrechenden reellen Folgen mit einem Skalar muss wieder eine abbrechende reelle Folge sein).

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Da hast du völlig recht, dass das da impliziert ist!

Zum Thema abbrechende Folge und Dimension:
Abbrechende Folge heißt soweit ich mich erinnere, dass man für jede Folge eine kleinste natürliche Zahl nennen kann, ab der alle Folgeglieder null sind.
Damit kannst du dir die Dimension folgendermaßen überlegen:
Du kannst wenn du Folgen nimmst wo du immer das n-te Folgeglied 1 setzt und alle anderen null eine Basis deines Raumes erzeugen und du hast unendlich viele Folgen in der Basis, also ist der Raum unendlichdimensional.
Aber er ist nicht vollständig, da du zwar immer größere n benennen kannst, aber eben niemals eine unendlich lange Folge in dem Raum sein kann.   ─   jojoliese 17.01.2021 um 12:06
Ok top vielen Dank euch für die Antworten! Jaa so wie oben genannt sind bei uns abbrechende Folgen auch definiert :) Auch das mit der Unendlichdimensionalität kann ich nachvollziehen, aber trotzdem akzeptiert mein Kopf folgenden Satz nicht so wirklich: Der Raum ist UNendlichdimensional, aber es sind ABBRECHENDE Folgen
-> bei mir widerspricht sich irgendwie noch die abbrechende Folge mit der unendlichdimensionalität...   ─   uuuuu 17.01.2021 um 14:35
Danke euch auch, wieder was gelernt :-P

Die natürlichen Zahlen zum Beispiel sind ja eindimensional, das sind aber unendlich viele Zahlen. Die abbrechenden Folgen, von denen gibt es auch unendlich viele, aber es sind eben Folgen. Die haben zwar alle nur endlich viele Folgenglieder, die nicht 0 sind, aber die können sich an unendlich vielen verschiedenen Stellen innerhalb der Folge befinden.   ─   tonypsilon 17.01.2021 um 14:38

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