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Das ist eigentlich sehr einfach, wenn man alle Begriffe versteht. Ich mach mal ein paar Beispiele:
- Linkstotal: Gibt es zu jedem \(x\in\mathbb Z\) ein \(y\in\mathbb Z\) mit \((x,y)\in Rel\), d.h. mit $|x+y|=2$? Ja klar, z.B. $y=2-x$ funktioniert.
- Rechtseindeutig: Nein, denn $(0,-2),(0,2)\in Rel$.
- Symmetrisch: $(x,y)\in Rel\Longrightarrow |x+y|=2\Longrightarrow|y+x|=2\Longrightarrow (y,x)\in Rel$
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stal
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Alles richtig, außer irreflexiv: Es ist $(1,1)\in Rel$.
Antisymmetrie beweist man meistens, indem man annimmt, dass $(x,y)$ und $(y,x)\in Rel$ und dann zeigt, dass $x=y$. Beispiel: Sei $R=\{(x,y)\in\mathbb N^2, x\text{ teilt }y\}$. Nimm nun an, dass $(x,y),(y,x)\in R$, dann folgt $x$ teilt $y$ und $y$ teilt $x$, d.h. es gibt $k_1,k_2\in\mathbb N$ mit $y=k_1x$ bzw. $x=k_2y$, also $y=k_1k_2y$, d.h. $k_1k_2=1$, was in den natürlichen Zahlen nur für $k_1=k_2=1$ erfüllt sein kann, also ist $x=y$ und $R$ antisymmetrisch. ─ stal 23.06.2021 um 13:49
Antisymmetrie beweist man meistens, indem man annimmt, dass $(x,y)$ und $(y,x)\in Rel$ und dann zeigt, dass $x=y$. Beispiel: Sei $R=\{(x,y)\in\mathbb N^2, x\text{ teilt }y\}$. Nimm nun an, dass $(x,y),(y,x)\in R$, dann folgt $x$ teilt $y$ und $y$ teilt $x$, d.h. es gibt $k_1,k_2\in\mathbb N$ mit $y=k_1x$ bzw. $x=k_2y$, also $y=k_1k_2y$, d.h. $k_1k_2=1$, was in den natürlichen Zahlen nur für $k_1=k_2=1$ erfüllt sein kann, also ist $x=y$ und $R$ antisymmetrisch. ─ stal 23.06.2021 um 13:49
Danke. das hilft sehr weiter
noch eine Frage hätte ich :)
wie geht man bei Teilbarkeitsrelationen vor? also beispielsweise 2 teilt x*y
wie beweist man dann hier linkstotalität usw. oder was ist zumindest der erste schritt
danke sehr schon mal ─ danielainformatik 24.06.2021 um 01:14
noch eine Frage hätte ich :)
wie geht man bei Teilbarkeitsrelationen vor? also beispielsweise 2 teilt x*y
wie beweist man dann hier linkstotalität usw. oder was ist zumindest der erste schritt
danke sehr schon mal ─ danielainformatik 24.06.2021 um 01:14
Das Vorgehen ist eigentlich immer das gleiche, unabhängig von der Relation. Wenn die beweisen willst, dass eine Relation $R\subseteq N^2$ linkstotal ist, beginnst du mit: "Sei $x\in N$, wir müssen ein $y\in N$ finden mit $(x,y)\in R.$" Und erst an dieser Stelle kommt die spezielle Relation ins Spiel, bei der Wahl des passenden $y$. Hier kannst du einfach $y=2$ für alle $x$ wählen, denn $x\cdot 2$ ist sicher gerade, also durch $2$ teilbar, und somit ist $(x,2)\in R$. Genauso bei den anderen Eigenschaften, das Vorgehen bleibt immer gleich. Bei dieser Relation hilft dir zur Intuition vielleicht noch folgende Überlegung: $xy$ ist genau dann gerade, wenn $x$ gerade oder $y$ gerade ist.
─
stal
24.06.2021 um 09:09
meine Lösung insgesamt ist (kurzgefasst:
die Relation ist linkstotal, rechtstotal, nicht linkseindeutig, nicht rechtseindeutig,
sie ist irreflexiv
R ist symmetrisch
nicht antisymmetrisch
nicht transitiv
Wie würde man eigentlich eine vorliegende Antisymmetrie beweisen? ich habe jetzt hier einfach ein Gegenbeispiel gezeigt, was das widerlegt.
aber wie gehe ich vor, wenn ich das vllt auch nicht auf Anhieb erkenne oder eben doch tatsächlich mal antisymmetrie vorliegt?
─ danielainformatik 23.06.2021 um 13:07