Alles klar. Die Untermoduln sind in diesem Fall genau die Räume, die von Teilmengen der Eigenvektoren aufgespannt werden. In deinem Fall ist z.B. \(\binom1{-1}\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(5\), die Behauptung ist jetzt, dass \(\mathbb R\binom1{-1}\) ein Untermodul von \(\mathbb R^2_f\) ist. Offensichtlich ist das eine Untergruppe von \(\mathbb R^2\), wir müssen also nur die Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation zeigen. Sei \(p=\sum_{k=0}^na_kT^k\in\mathbb R[T]\) ein Polynom und \(v=\lambda\binom1{-1}\in\mathbb R\binom1{-1}\). Dann ist $$p\cdot v\overset{\text{Def.}}=p(f)(v)=\ldots$$ und du musst nachrechnen, dass da wieder ein Vielfaches von \(\binom1{-1}\) herauskommt. Dann bist du fertig.