\(\varphi\) ist injektiv, weil die Ableitung \(\varphi'(x)=\cos(x)\) in \([0,\frac\pi2)\) positiv ist, \(\varphi\) also streng monoton wachsend. \(\sin\) ist sogar auf \([0,\frac\pi2]\) injektiv. Aber \(\varphi\) ist nicht surjektiv, denn der Wert \(1\) wird in \([0,\frac\pi2)\) nicht angenommen, gehört aber zu \([0,1]\).

Hier betrachtet man den Definitionsbereich \([0,\frac\pi2)\) und den Bildbereich \([0,1]\) per Definition als zu \(\varphi\) gehörig. Weil nicht jeder Wert im Bildbereich angenommen wird, ist \(\varphi\) nicht surjektiv.

Man könnte auch definieren \(\varphi\colon[0,\frac\pi2)\to[0,1), \varphi(x):=\sin(x)\). Dann wäre \(\varphi \) bijektiv. Ist alles nur eine Frage der Definition.