Mein Lehrer möchte, dass ich Anhand des Majorantenkriteriums zeige, dass die Reihe konvergiert oder diverdiert. Ich verstehe es einfach nicht und verzeifle langsam

Erste Frage Aufrufe: 510     Aktiv: 08.12.2020 um 19:17
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Aufgabe:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{1+a^n}\

a ist ein Element der reellen Zahlen aufgenommen {-1}.

Meine Überlegung, die Reihe abzuschätzen habe dann das raus 

(a^{n})\(a^{n})

und dann habe ich überlegt, dass umzuschreiben zu

1\(a{-n}+1)

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Punkte: 10

 
Kennst du denn das Majorantenkriterium?   ─   anonym0165f 08.12.2020 um 12:39
Ja, kenne ich. Aber ich versthe nicht wie ich es bei der Aufgabe anwenden soll.   ─   frauke 08.12.2020 um 12:43
Leider ist deine Abschätzung nach oben durch \(\frac{a^n}{a^n}=1\) zu grob und bringt daher nichts, denn die Reihe mit den konstanten Summanden \(1\) ist divergent.   ─   slanack 08.12.2020 um 13:12
oh okay, danke. Dann schaue ich nochmal.
   ─   frauke 08.12.2020 um 13:15
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1 Antwort
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Die Antwort hängt von \(|a|\) ab. Finde für \(|a|<1\) eine konvergente Majorante, also eine Abschätzung der Beträge der Summanden \[\left|\frac{a^n}{1+a^n}\right|\] nach oben durch Terme, deren Reihe konvergiert, und für \(|a|\ge1\) eine divergente Minorante, also eine Abschätzung der Summanden nach unten durch Terme, deren Reihe divergiert. Im ersten Fall erhältst Du also Konvergenz, im zweiten Divergenz.

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Okay, danke schonmal. Ich habe mich daran versucht bin aber irgendwie nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe.
Ich habe |a|= a = (a^n)\(1+a^n)< (a^n)\(a^n+a)
Ich habe gedacht da |a| größer gleich 1 ist, kann ich die 1 durch a austauchen. Das hätte ich zu divergente Minorante. Bei der konvergenz bin ich aber überfragt   ─   frauke 08.12.2020 um 13:44
Hm, \[|a|=a=\frac{a^n}{1+a^n}\] verstehe ich nicht. Es gibt keine Zahl \(a\), welche diese Gleichungen erfüllt. Deine Ungleichung kann nur für alle \(n\) gelten, wenn \(a\) strikt zwischen 0 und 1 liegt. Das passt nicht damit zusammen, dass Du \(|a|\ge1\) annimmst. Außerdem bringt den Betrag der Summanden *nach oben* abzuschätzen nur etwas, wenn das Ergebnis eine *konvergente* Reihe ist, Du sprichst aber von einer divergenten Minorante. Lies noch einmal genau durch, was ich in meiner Antwort geschrieben habe. Eine Ergänzung dazu: Die Summanden *nach unten* abzuschätzen bringt hier nur etwas, wenn das Ergebnis eine divergente Reihe *nichtnegativer* Summanden ist.

Ich glaube, dass Du Dir einmal genau ansehen musst, wie man ganz allgemein Brüche nach oben und unten abschätzt, sonst kommst Du nicht weiter. Außerdem musst Du die Dreiecksungleichung *nach unten* kennen.   ─   slanack 08.12.2020 um 17:34
Vielen lieben Dank. Ich habe habe mir das alles nochmal angeschaut und es jetzt hinbekommen.   ─   frauke 08.12.2020 um 19:17

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